[MIX] Świętokrzyskie warsztaty, wrzesień 2007
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
-
- Użytkownik
- Posty: 569
- Rejestracja: 15 gru 2008, o 18:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: BK
- Podziękował: 73 razy
- Pomógł: 40 razy
[MIX] Świętokrzyskie warsztaty, wrzesień 2007
2 dzien, przed, zadanie 2
Podstawmy
x=99
y=101
Wtedy
\(\displaystyle{ a=x+ \frac{1}{x} \\
b=y+ \frac{1}{y} \\
c=xy+ \frac{1}{xy} \\}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}+c^{2}-abc=(x+ \frac{1}{x})^{2}+(y+ \frac{1}{y})^{2}+(xy+ \frac{1}{xy})^{2} - (x+ \frac{1}{x})(y+ \frac{1}{y})(xy+ \frac{1}{xy})}\)
Po wymnożeniu i uporządkowaniu otrzymujemy wynik 4.-- 3 marca 2009, 18:19 --dzien 1, przed, zad 2
N poczatku stwierdzamy, ze K nie moze być większe od 4,a suma A i R większa niż 10. Biorąc to pod uwage otrzymujemy, że RAK=954
Podstawmy
x=99
y=101
Wtedy
\(\displaystyle{ a=x+ \frac{1}{x} \\
b=y+ \frac{1}{y} \\
c=xy+ \frac{1}{xy} \\}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}+c^{2}-abc=(x+ \frac{1}{x})^{2}+(y+ \frac{1}{y})^{2}+(xy+ \frac{1}{xy})^{2} - (x+ \frac{1}{x})(y+ \frac{1}{y})(xy+ \frac{1}{xy})}\)
Po wymnożeniu i uporządkowaniu otrzymujemy wynik 4.-- 3 marca 2009, 18:19 --dzien 1, przed, zad 2
N poczatku stwierdzamy, ze K nie moze być większe od 4,a suma A i R większa niż 10. Biorąc to pod uwage otrzymujemy, że RAK=954
-
- Użytkownik
- Posty: 760
- Rejestracja: 18 mar 2008, o 10:23
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: z Lublina
- Podziękował: 32 razy
- Pomógł: 177 razy
[MIX] Świętokrzyskie warsztaty, wrzesień 2007
z.5, 2. dzień
\(\displaystyle{ 8z=3+2y ^{2}-x ^{2}}\)
1. \(\displaystyle{ y ^{2}\equiv0(mod8) \vee y ^{2}\equiv4(mod8) \Rightarrow x ^{2} \equiv3(mod8)}\)-sprzeczność
2.
\(\displaystyle{ y ^{2}\equiv1(mod8) \Rightarrow x ^{2}\equiv5(mod8)}\)-sprzeczność
-- 3 marca 2009, 22:48 --
z.1, 2. dzień
\(\displaystyle{ p=3 \Rightarrow p+10=13, p+20=23}\)-zgadza się
\(\displaystyle{ p>3 \Rightarrow p=3k+1 \vee 3k+2}\)
\(\displaystyle{ p=3k+1 \Rightarrow 3|(p+20)}\)
\(\displaystyle{ p=3k+2 \Rightarrow 3|(p+10)}\)
Ostatecznie p=3 to jedyne rozwiązanie.-- 3 marca 2009, 22:56 --Mecz, z. 4
Nie istnieje.
Niech dwa wierzchołki będą w punktach kratowych o współrzędnych: (a, b), (a+x, b). x- dł. boku trójkąta (jest całkowita, bo punkty mają współrzędne całkowite). Wówczas 3. wierzchołek będzie miał współrzędne: \(\displaystyle{ (a+0,5x, b+ \frac{x \sqrt{3} }{2} )}\). Druga współrzędna nie jest całkowita dla żadnego x całkowitego- nie istnieje trójkąt równoboczny o wszystkich wierzchołkach w punktach kratowych.
\(\displaystyle{ 8z=3+2y ^{2}-x ^{2}}\)
1. \(\displaystyle{ y ^{2}\equiv0(mod8) \vee y ^{2}\equiv4(mod8) \Rightarrow x ^{2} \equiv3(mod8)}\)-sprzeczność
2.
\(\displaystyle{ y ^{2}\equiv1(mod8) \Rightarrow x ^{2}\equiv5(mod8)}\)-sprzeczność
-- 3 marca 2009, 22:48 --
z.1, 2. dzień
\(\displaystyle{ p=3 \Rightarrow p+10=13, p+20=23}\)-zgadza się
\(\displaystyle{ p>3 \Rightarrow p=3k+1 \vee 3k+2}\)
\(\displaystyle{ p=3k+1 \Rightarrow 3|(p+20)}\)
\(\displaystyle{ p=3k+2 \Rightarrow 3|(p+10)}\)
Ostatecznie p=3 to jedyne rozwiązanie.-- 3 marca 2009, 22:56 --Mecz, z. 4
Nie istnieje.
Niech dwa wierzchołki będą w punktach kratowych o współrzędnych: (a, b), (a+x, b). x- dł. boku trójkąta (jest całkowita, bo punkty mają współrzędne całkowite). Wówczas 3. wierzchołek będzie miał współrzędne: \(\displaystyle{ (a+0,5x, b+ \frac{x \sqrt{3} }{2} )}\). Druga współrzędna nie jest całkowita dla żadnego x całkowitego- nie istnieje trójkąt równoboczny o wszystkich wierzchołkach w punktach kratowych.
- timon92
- Użytkownik
- Posty: 1665
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 476 razy
[MIX] Świętokrzyskie warsztaty, wrzesień 2007
Nigdzie nie jest napisane, że jeden z boków jest równoległy do boków kratek.MagdaW pisze:
Mecz, z. 4
Nie istnieje.
Niech dwa wierzchołki będą w punktach kratowych o współrzędnych: (a, b), (a+x, b). x- dł. boku trójkąta (jest całkowita, bo punkty mają współrzędne całkowite). Wówczas 3. wierzchołek będzie miał współrzędne: \(\displaystyle{ (a+0,5x, b+ \frac{x \sqrt{3} }{2} )}\). Druga współrzędna nie jest całkowita dla żadnego x całkowitego- nie istnieje trójkąt równoboczny o wszystkich wierzchołkach w punktach kratowych.
Proponuję takie rozwiązanie: Z jednej strony pole naszego trójkąta jest liczbą niewymierną (\(\displaystyle{ \frac{a^2 \sqrt{3} }{4}}\), gdzie a jest bokiem trójkąta). Z drugiej strony ze wzoru Picka (\(\displaystyle{ P=W+ \frac{B}{2}-1}\), gdzie W jest liczbą punktów kratowych wewnątrz wielokąta, a B jest liczbą punktów kratowych na brzegu wielokąta) jest ona wymierna. Sprzeczność.
- Sylwek
- Użytkownik
- Posty: 2716
- Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 657 razy
[MIX] Świętokrzyskie warsztaty, wrzesień 2007
Oczywiście, że (nie)wymierność \(\displaystyle{ a}\) nie jest przydatna w tym zadaniu. Rozwiązanie naszej drużyny (dokładnie to moje chyba było, ale to było już dawno temu ) było połowicznie podobne do rozwiązania timon92, tylko obeszliśmy się bez wzoru Picka.
Z Pitagorasa: \(\displaystyle{ a^2}\) jest całkowite, czyli pole \(\displaystyle{ S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}}\) jest niewymierne, z drugiej strony ze wzoru na pole trójkąta wykorzystujące wyznacznik macierzy:
\(\displaystyle{ S = \frac{1}{2} \ \cdot \ | \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & 1 \\ b_1 & b_2 & 1 \\ c_1 & c_2 & 1 \end{vmatrix} |}\)
otrzymujemy, że S jest wymierne - sprzeczność.
Z Pitagorasa: \(\displaystyle{ a^2}\) jest całkowite, czyli pole \(\displaystyle{ S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}}\) jest niewymierne, z drugiej strony ze wzoru na pole trójkąta wykorzystujące wyznacznik macierzy:
\(\displaystyle{ S = \frac{1}{2} \ \cdot \ | \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & 1 \\ b_1 & b_2 & 1 \\ c_1 & c_2 & 1 \end{vmatrix} |}\)
otrzymujemy, że S jest wymierne - sprzeczność.
-
- Użytkownik
- Posty: 1251
- Rejestracja: 30 sty 2007, o 20:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław
- Podziękował: 352 razy
- Pomógł: 33 razy
[MIX] Świętokrzyskie warsztaty, wrzesień 2007
2. dzień, spotkanie popołudniowe: zadanie 1.
Mam dość głupią prośbę - czy mógłby ktoś to narysować, bo ja chyba czytać ze zrozumieniem nie potrafię i dla mnie to zadanie nie jest jednoznaczne (wybieram sobie dowolne kąty, które niby spełniają warunki zadania i otrzymuję różne sumy... o_O).
Mam dość głupią prośbę - czy mógłby ktoś to narysować, bo ja chyba czytać ze zrozumieniem nie potrafię i dla mnie to zadanie nie jest jednoznaczne (wybieram sobie dowolne kąty, które niby spełniają warunki zadania i otrzymuję różne sumy... o_O).
- timon92
- Użytkownik
- Posty: 1665
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 476 razy
[MIX] Świętokrzyskie warsztaty, wrzesień 2007
teraz już chyba będzie wszystko jasne:
Przekątne niebieskie i zielona wychodzą z jednego wierzchołka, ponadto kąty między przekątnymi zieloną a niebieskimi są równe kątom między przekątnymi czerwoną a niebieskimi. Sumują się do \(\displaystyle{ 180^\circ}\), bo tworzą trójkąt.
Przekątne niebieskie i zielona wychodzą z jednego wierzchołka, ponadto kąty między przekątnymi zieloną a niebieskimi są równe kątom między przekątnymi czerwoną a niebieskimi. Sumują się do \(\displaystyle{ 180^\circ}\), bo tworzą trójkąt.
-
- Użytkownik
- Posty: 1251
- Rejestracja: 30 sty 2007, o 20:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław
- Podziękował: 352 razy
- Pomógł: 33 razy
[MIX] Świętokrzyskie warsztaty, wrzesień 2007
Dziękuję.
Czy te kąty będą równe na mocy cechy (bbb) przystawania trójkątów?
Każdy kolor odpowiada innej długości odcinka:
Czy te kąty będą równe na mocy cechy (bbb) przystawania trójkątów?
Każdy kolor odpowiada innej długości odcinka:
-
- Użytkownik
- Posty: 569
- Rejestracja: 15 gru 2008, o 18:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: BK
- Podziękował: 73 razy
- Pomógł: 40 razy
[MIX] Świętokrzyskie warsztaty, wrzesień 2007
Odkopię:)
1 dzien, przed, zad. 5
\(\displaystyle{ 9x^{2}-39x+40=y^{2} \ | \cdot 4 \\ 36x^{2}-156x+160=4y^{2} \\ (6x-13)^{2}-9=4y^{2} \\ (6x-2y-13)(6x+2y-13)=9=1 \cdot 9=3 \cdot 3}\)
Układy równań i mamy rozwiązania
1 dzien, przed, zad. 5
\(\displaystyle{ 9x^{2}-39x+40=y^{2} \ | \cdot 4 \\ 36x^{2}-156x+160=4y^{2} \\ (6x-13)^{2}-9=4y^{2} \\ (6x-2y-13)(6x+2y-13)=9=1 \cdot 9=3 \cdot 3}\)
Układy równań i mamy rozwiązania
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11622
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3173 razy
- Pomógł: 754 razy
[MIX] Świętokrzyskie warsztaty, wrzesień 2007
Dzien 5 zadanie 5
Jesli \(\displaystyle{ \begin{cases} a=xy\\b=x^2+y^2\end{cases}}\) to uzyska sie
\(\displaystyle{ \begin{cases} b^2-a^2=21\\b-a=3\end{cases}}\)
a wiec \(\displaystyle{ a=2, \ b=5}\), a układ \(\displaystyle{ \begin{cases} xy=2\\x^2+y^2=5\end{cases}}\)
ma rozwiazania \(\displaystyle{ x=1, \ y=2}\) lub \(\displaystyle{ x=2, \ y=1}\)
lub \(\displaystyle{ x=-1, \ y=-2}\) lub \(\displaystyle{ x=-2, \ y=-1}\)
Jesli \(\displaystyle{ \begin{cases} a=xy\\b=x^2+y^2\end{cases}}\) to uzyska sie
\(\displaystyle{ \begin{cases} b^2-a^2=21\\b-a=3\end{cases}}\)
a wiec \(\displaystyle{ a=2, \ b=5}\), a układ \(\displaystyle{ \begin{cases} xy=2\\x^2+y^2=5\end{cases}}\)
ma rozwiazania \(\displaystyle{ x=1, \ y=2}\) lub \(\displaystyle{ x=2, \ y=1}\)
lub \(\displaystyle{ x=-1, \ y=-2}\) lub \(\displaystyle{ x=-2, \ y=-1}\)
- Ponewor
- Moderator
- Posty: 2218
- Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 297 razy
[MIX] Świętokrzyskie warsztaty, wrzesień 2007
Dzień 4. Zadanie 11.Ale skoro już tu jestem, to warto poprowadzić dalej te wykopki.
Zadanie znalazło się w \(\displaystyle{ 101}\) nierozwiązanych.
Dzień 4. Mecz Zadanie 11.:
Dzień 1. Przedpołudnie Zadanie 6.:
Dzień 2. Przedpołudnie Zadanie 3.:
Dzień 2. Popołudnie Zadanie 4.:
Dzień 2. Popołudnie Zadanie 5.:
Dzień 2. Popołudnie Zadanie 7.:
Dzień 3. Przedpołudnie Zadanie 1.:
Dzień 3. Przedpołudnie Zadanie 3.: