1 dzień spotkanie popołudniowe zad. 6
6. W dwóch naczyniach znajduje się odpowiednio m i n litrów roztworu o różnych stężeniach. Z obu naczyń odlano taką samą ilość roztworu. Następnie roztwór odlany z naczynia m-litrowego wlano do naczynia n-litrowego i podobnie odlany roztwór z naczynia n-litrowego wlano do naczynia m-litrowego. Okazało się, że stężenia obu roztworów wyrównały się. Ile litrów roztworu odlano z każdego naczynia?
\(\displaystyle{ x}\) - ilość odlanej objętości roztworu z pierwszego i drugiego naczynia
\(\displaystyle{ n-x}\) - tyle po odlaniu pozostało w pierwszym naczyniu
\(\displaystyle{ m-x}\) - tyle po odlaniu pozostało w drugim naczyniu
\(\displaystyle{ c_1, c_2}\) - stężenia badanych roztworów
\(\displaystyle{ K}\) - Końcowe stężenia roztworów już po zmieszaniu
\(\displaystyle{ \begin{cases}\frac{n}{100}=\frac{c_1\cdot x+c_2(n-x)}{K}\\\frac{m}{100}=\frac{c_2x+c_1(m-x)}{K}\end{cases}}\), po rozwiązaniu
\(\displaystyle{ x=\frac{mn}{m+n}}\)
[ Dodano: 21 Września 2008, 19:43 ]
7.
Udowodnić, że jeżeli a,b,c są długościami boków trójkąta to |frac{a-b}{a+b}+frac{b-c}{b+c}+frac{c-a}{c+a}| leq frac{1}{8}
Przekształcamy lewą stronę nierówności do postaci:
\(\displaystyle{ \left|(a+c)(b+c)(a-b)+(a+b)(a+c)(b-c)+(a+b)(b+c)(c-a) \right| \leqslant 8 \left|(a+b)(b+c)(a+c) \right|}\).
Korzystając teraz z nierówności w trójkącie
\(\displaystyle{ \begin{cases} \left|a+b \right|> \left| a-b\right| \\ \left| b+c\right|> \left| b-c\right|\\ \left|a+c \right| > \left| a-c\right| \end{cases}}\) otrzymamy
\(\displaystyle{ 3 \left|(a+b)(b+c)(a+c) \right| \leqslant 8 \left| (a+b)(b+c)(a+c)\right|}\), co jest prawdą.
Równość ma miejsce, gdy
\(\displaystyle{ a=b=c}\) lub
\(\displaystyle{ a=b\ne c, b=c\ne a, a=c\ne b}\).