Oblicz pochodną funkcji
\(\displaystyle{ f(x) = 2arctgx - arcsin \frac{2x}{1+ x^{2} }}\) dla \(\displaystyle{ x>1}\)
Wynik doprowadzić do możliwie najprostrzej postaci.
oblicz pochodną funkcji
oblicz pochodną funkcji
\(\displaystyle{ f'(x)= \frac{2}{1+x^2} - \frac{1}{ \sqrt{1-( \frac{2x}{1+x^2} )^2} } \cdot \frac{2(1+x^2)-4x^2}{(1+x^2)^2}=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{2}{1+x^2}- \frac{1}{ \sqrt{ \frac{(1+x^2)^2-(2x)^2}{(1+x^2)^2}} } \cdot \frac{2-2x^2}{(1+x^2)^2}=\frac{2}{1+x^2}- \frac{1}{ \sqrt{ \frac{(x^2-1)^2}{(1+x^2)^2}} } \cdot \frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2}=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{2}{1+x^2}- \frac{|1+x^2|}{|x^2-1|} } \cdot \frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2}=\frac{2}{1+x^2}+ \frac{(1+x^2)}{(x^2-1)} } \cdot \frac{2(x^2-1)}{(1+x^2)^2}=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{2}{1+x^2} + \frac{2}{1+x^2} = \frac{4}{1+x^2}}\)
\(\displaystyle{ =\frac{2}{1+x^2}- \frac{1}{ \sqrt{ \frac{(1+x^2)^2-(2x)^2}{(1+x^2)^2}} } \cdot \frac{2-2x^2}{(1+x^2)^2}=\frac{2}{1+x^2}- \frac{1}{ \sqrt{ \frac{(x^2-1)^2}{(1+x^2)^2}} } \cdot \frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2}=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{2}{1+x^2}- \frac{|1+x^2|}{|x^2-1|} } \cdot \frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2}=\frac{2}{1+x^2}+ \frac{(1+x^2)}{(x^2-1)} } \cdot \frac{2(x^2-1)}{(1+x^2)^2}=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{2}{1+x^2} + \frac{2}{1+x^2} = \frac{4}{1+x^2}}\)