Witam.Jestem tu nowym uzytkownikem,Mam problem z zadaniem nr4 i 5,Przepraszam że niepiszę tego tak jak powinno być tzn tych treści zadań ale jeszcze niemam tego opanowanego.a tu zdjęcie daje z zadan ktorych nieumiem:
w ekstremum2zmiennych wiem że najpierw trzeba obliczyć pochodną wedlug x i y a potem co dalej??i prosiłbym też o rozwiązanie zadania nr 4 bo wogule niewiem jak sie za to wziąć.Będę wdzieczny Wam za pomoc.Pozdrawiam
Ekstremum2Zmiennych
-
kozyra1988
- Użytkownik
- Posty: 1
- Rejestracja: 1 mar 2009, o 12:39
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 1 raz
Ekstremum2Zmiennych
W zad.4 pole obszaru ograniczonego liniami sprowadza się do policzenia całki. Punkty przecięcia obydwu funkcji to x=2 i x=-2. Jak zrobisz rysunek to widać, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)=-x^2+5}\) leży nad funkcją \(\displaystyle{ f(x)=x^2-3}\) (wszędzie w tym interesującym nas obszarze), więc całka wygląda następująco:
\(\displaystyle{ \int_{-2}^{2}[-x^2+5-(x^2-3)]dx}\)
Pozostawiam do policzenia dla Ciebie:)-- 1 mar 2009, o 16:07 --W zad.5 po obliczeniu pochodnych trzeba je przyrównać do zera, czyli
\(\displaystyle{ f'_x=3x^2+6y}\)
\(\displaystyle{ f'_y=-3y^2+6x}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} f'_x=0 \\ f'_y=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}x=0 \\ y=0 \end{cases} \vee \begin{cases}x=2 \\y=-2 \end{cases}}\)
Liczymy drugie pochodne:
\(\displaystyle{ f'_{xx}=6x}\)
\(\displaystyle{ f'_{yy}=-6y}\)
\(\displaystyle{ f'_{xy}=6}\)
\(\displaystyle{ W=(f''_{xy} (0,0))^{2} - f''_{xx}(0,0) \cdot f''_{yy}(0,0) =36-0>0}\)
W>0 czyli brak ekstremum.
\(\displaystyle{ W=(f''_{xy} (2,-2))^{2} - f''_{xx}(2,-2) \cdot f''_{yy}(2,-2) =36-12^2<0}\)
Jeśli W<0 to ekstremum istnieje, a ponieważ \(\displaystyle{ f''_{xx}( 2,- 2)>0}\) i \(\displaystyle{ f''_{yy}(2,-2) >0}\) to jest to minimum.
\(\displaystyle{ f_{min}(2,-2)=4}\)
\(\displaystyle{ \int_{-2}^{2}[-x^2+5-(x^2-3)]dx}\)
Pozostawiam do policzenia dla Ciebie:)-- 1 mar 2009, o 16:07 --W zad.5 po obliczeniu pochodnych trzeba je przyrównać do zera, czyli
\(\displaystyle{ f'_x=3x^2+6y}\)
\(\displaystyle{ f'_y=-3y^2+6x}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} f'_x=0 \\ f'_y=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}x=0 \\ y=0 \end{cases} \vee \begin{cases}x=2 \\y=-2 \end{cases}}\)
Liczymy drugie pochodne:
\(\displaystyle{ f'_{xx}=6x}\)
\(\displaystyle{ f'_{yy}=-6y}\)
\(\displaystyle{ f'_{xy}=6}\)
\(\displaystyle{ W=(f''_{xy} (0,0))^{2} - f''_{xx}(0,0) \cdot f''_{yy}(0,0) =36-0>0}\)
W>0 czyli brak ekstremum.
\(\displaystyle{ W=(f''_{xy} (2,-2))^{2} - f''_{xx}(2,-2) \cdot f''_{yy}(2,-2) =36-12^2<0}\)
Jeśli W<0 to ekstremum istnieje, a ponieważ \(\displaystyle{ f''_{xx}( 2,- 2)>0}\) i \(\displaystyle{ f''_{yy}(2,-2) >0}\) to jest to minimum.
\(\displaystyle{ f_{min}(2,-2)=4}\)