Funkcje

[marcobz]

Proszę o pomoc w zadaniu. Wyznacz wszystkie funkcje które spełniają następujący warunek

\(\displaystyle{ |f(t)-f(s)|\leqslant\ L*|t-s|^{\alpha}}\) dla \(\displaystyle{ \alpha>1}\)

[mazur89]

Odpowiedź:funkcje stałe.
Dowód:
\(\displaystyle{ |f(s)-f(t)|\leq \sum_{j=0}^{n-1} |f( \frac{(j+1)s+(n-j-1)t}{n} )-f( \frac{js+(n-j)t}{n})|}\) \(\displaystyle{ \leq n\cdot L\cdot | \frac{s-t}{n} | ^{\alpha} =L\cdot|s-t|^{\alpha}\cdot n^{1-\alpha}}\) dla każdego \(\displaystyle{ n}\). Przechodząc z \(\displaystyle{ n\to\infty}\) dostajemy \(\displaystyle{ |f(s)-f(t)|=0}\) dla dowolnych \(\displaystyle{ s,t}\).

[max]

Inaczej:
Ustalamy \(\displaystyle{ t,}\) dla każdego \(\displaystyle{ s\neq t}\) mamy:
\(\displaystyle{ \left|\frac{f(s)-f(t)}{s-t}\right| \le L|t-s|^{\alpha - 1}.}\)
Przechodząc z \(\displaystyle{ s\to t}\) dostajemy:
\(\displaystyle{ |f'(t)| = 0,}\) czyli pochodna \(\displaystyle{ f}\) jest tożsamościowo równa zeru, a więc \(\displaystyle{ f}\) jest stała.

[marcobz]

Mazur89 mógłbyś wytłumaczyć dlaczego w nierówności jest
\(\displaystyle{ ...\leqslant\ n\cdot| \frac{s-t}{n} | ^{\alpha}}\)

[mazur89]

Dlatego, że:
\(\displaystyle{ \frac{(j+1)s+(n-j-1)t}{n} - \frac{js+(n-j)t}{n}= \frac{s-t}{n}}\) oraz \(\displaystyle{ \sum_{j=0}^{n-1} L\cdot| \frac{s-t}{n}|^{\alpha}= n\cdot L\cdot | \frac{s-t}{n} | ^{\alpha}.}\)
Pomyliłem się o czynnik, który nic nie wnosi.