trojkat i 3 proste rownolegle

WacekFromTHC · Post autor: **WacekFromTHC** » 27 lut 2009, o 16:43

Witam uprzejmie
tworze tego posta, poniewaz mam problem z 1 zadaniem, a jest ono dla mnie dosc wazne (zeby je zrobic)
Brzmi tak:
Przez punkt R polozony wewnatrz trojkata ABC poprowadzono 3 proste rownolegle do bokow trojkata. Otrzymano w ten sposob 3 trojkaty o wspolnym wierzcholku R o polach \(\displaystyle{ P_{1}}\), \(\displaystyle{ P_{2}}\), \(\displaystyle{ P_{3}}\). Uzasadnij ze pole trojkata ABC wynosi \(\displaystyle{ (P_{1}}\) + \(\displaystyle{ P_{2}}\) + \(\displaystyle{ P_{3}}\) )\(\displaystyle{ ^{2}}\)

Z gory szczerze dziekuje za pomoc, lub chociaz za nakierowanie na sposob rozwiazania tego zadania... Ja sam na zaden nie wpadlem

Kibu · Post autor: **Kibu** » 27 lut 2009, o 18:50

A nie \(\displaystyle{ (\sqrt{P_1}+\sqrt{P_2}+\sqrt{P_3})^2}\)? Łatwo pokazuje się, że wszystkie możliwe trójkąty tam są podobne. Niech trójkąt będzie ABC, oznaczmy punkty przecięć boku BC z prostymi tak, aby układały się one kolejno jako: \(\displaystyle{ B, A_1, A_2, C}\).
\(\displaystyle{ BA_1=a_1\cdot\frac{b_1+b_2}{b_1}-a_3, A_2C=b_2\cdot\frac{c_2+c_3}{c_2}-a_3}\), przy standartowych oznaczeniach. Mamy więc: \(\displaystyle{ a_1\cdot\frac{b_1+b_2}{b_1}-a_3+a_3+_2\cdot\frac{c_2+c_3}{c_2}-a_3=a}\). Wiemy, że stosunek pól trójkątów podobnych w skali k równy jest k^2. Zatem:
\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{P_1}{P_3}}(1+\sqrt{\frac{P_3}{P_1}})+\sqrt{\frac{P_2}{P_3}}(1+\sqrt{\frac{P_3}{P_2}})=\sqrt{\frac{P}{P_3}}+1\iff
\sqrt{P_1}+\sqrt{P_2}+\sqrt{P_3}=\sqrt{P}}\) (rozpisując, skracając, mnożąc przez pierw. z P_3).

WacekFromTHC · Post autor: **WacekFromTHC** » 27 lut 2009, o 19:22

Brzmi ciekawie, i calkiem sensownie, ale przyznam sie bez bicia ze nie rozumiem co to sa te male litery z indeksami 1, 2 i 3 (mowie o ... a, b, c we wzorach)
a jesli chodzi o pytanie poczatkowe, to masz racje popelnilem sie, i przepraszam za to ;p

P.S. no i dziekuje za zainteresowanie postem

Kibu · Post autor: **Kibu** » 27 lut 2009, o 20:05

Przepraszam, może te oznaczenia rzeczywiście nie są do końca standartowe. Generalnie a, to długość boku dużego trójkąta naprzeciw wierzchołka A, b naprzeci B, c naprzeciw C, a1 to długość boku trójkąta o polu P1 odpowiadającego bokowi a, b1-boku trójkąta o polu P1 odpowiadającemu b, c1 odpowiadającemu c, analogicznie literki z indeksami 2 i 3. A rysunek mam taki, że A mam na górze, a trójkąty, które powstały mają patrząc od lewej do prawej pola P1, P3 i P2.

WacekFromTHC · Post autor: **WacekFromTHC** » 27 lut 2009, o 21:41

teraz juz wszystko rozumiem dziekuje Ci bardzo jeszcze raz
Jestem na prawde wdzieczny