[Planimetria] prosta przechodząca przez środek okręgu

[anorian]

Dany jest trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\). Dwie prostej symetryczne do prostej \(\displaystyle{ AC}\) odpowiednio względem prostych \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ BC}\), przecinają się w punkcie\(\displaystyle{ K}\). Pokaż, że prosta \(\displaystyle{ BK}\)przechodzi przez środek okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\).

Wsk:

Ukryta treść:    

Przez punkt \(\displaystyle{ B}\) prowadzimy prostą równoległą do \(\displaystyle{ AC}\) i oznaczamy np. jej punkty przecięcia z prostymi symetrycznymi do \(\displaystyle{ AC}\) przez \(\displaystyle{ M,N}\). Wystarczy udowodnić, że \(\displaystyle{ BK}\) to dwusieczna trójkąta \(\displaystyle{ MNK}\)

[binaj]

odkopie, żeby nie było, ze niezrobione
Niech O będzie śr. okręgu opisanego na ABC
z rachunku na kątach otrzymujemy, że AOCK jest wpisany w okrąg
ponadto: \(\displaystyle{ \sphericalangle BOC=2BAC=MAC=180-KAC=180-KOC}\)
czyli BOC+KOC=180, CKD