dwa cuagi otej samej sumie

Edyta1010 · Post autor: **Edyta1010** » 26 lut 2009, o 22:35

Dane sa dwa ciagi geometryczne : 50,100,200,400,..., i 768,384,192,96,..., o tej samej liczbie wyrazow. Laczna suma wyrazow obu ciagow jest rowna 7874. Znajdź liczbe wyrazow kazdego z tych ciagow.

mateusz_math · Post autor: **mateusz_math** » 26 lut 2009, o 22:55

można łatwo oszacować że n<8, sprawdzając n=7 okazuje się że ta zależność zachodzi;)

Edyta1010 · Post autor: **Edyta1010** » 26 lut 2009, o 22:57

jak to oszacowaleś??

abc666 · Post autor: **abc666** » 26 lut 2009, o 22:59

\(\displaystyle{ a_{1,1}=50 \\
q_1=2 \\
a_{1,2}=768\\
q_2= \frac{1}{2} \\
50 \frac{1-2^n}{1-2}+ 768\frac{1- \left( \frac{1}{2} \right)^n }{1- \frac{1}{2} } =7874}\)
i teraz tylko to rozwiązać

mateusz_math · Post autor: **mateusz_math** » 26 lut 2009, o 23:05

tak w ogóle to nie są ciągi o tej samej sumie jak jest napisane w temacie;)
mamy że 7874>(-50)*(1-2^{n}) i stąd 2^{n}<158, czyli n<8

Edyta1010 · Post autor: **Edyta1010** » 26 lut 2009, o 23:07

tez do tego doszlam ale nie wiem wlasnie co dalej jak to rozwiazac

Judasz · Post autor: **Judasz** » 26 lut 2009, o 23:11

Wszystko można "na piechotę". A wzory na sumę \(\displaystyle{ n}\) początkowych wyrazów ciągu nie wystraczą?
Przypominam:

\(\displaystyle{ a_1\frac{1-q_1^n}{1-q_1} + b_1\frac{1-q_2^n}{1-q_2}=7874}\)

gdzie
\(\displaystyle{ a_1}\) - pierwszy wyraz ciągu pierwszego
\(\displaystyle{ q_1}\) - iloraz pierwszego ciągu

\(\displaystyle{ b_1}\) - pierwszy wyraz ciągu drugiego
\(\displaystyle{ q_2}\) - iloraz drugiego ciągu ciągu

Nie muszę chyba podawać co jest niewiadomą w tym równaniu. Rachunki dla Ciebie.
Powodzenia.

marcinn12 · Post autor: **marcinn12** » 26 lut 2009, o 23:56

\(\displaystyle{ 50 \frac{1-2^n}{1-2}+ 768\frac{1- \left( \frac{1}{2} \right)^n }{1- \frac{1}{2} } =7874}\)

Można tak

\(\displaystyle{ 50*(-1+2^{n})+768*2(1-( \frac{1}{2})^{n})=7874//:2}\)
\(\displaystyle{ 25*(-1+2^{n})+768(1-( \frac{1}{2})^{n})=3937}\)
\(\displaystyle{ 25*2^{n}-25+768-768*(\frac{1}{2})^{n}=3937}\)
\(\displaystyle{ 25*2^{n}-768*(\frac{1}{2})^{n}=3194}\)
\(\displaystyle{ 25*2^{n}-768*(2^{n})^{-1}=3194}\)
Zmienna \(\displaystyle{ t=2^{n}}\) \(\displaystyle{ t>0}\)
\(\displaystyle{ 25t-768* \frac{1}{t} =3194}\)
\(\displaystyle{ 25t^{2}-3194t-768=0}\)

Kalkulator w ruch i mamy:

\(\displaystyle{ \Delta=10278436=3206^{2}}\)

\(\displaystyle{ t_{0}=128}\)

Wracamy do naszego podstawiania:

\(\displaystyle{ 2^{n}=128}\)
\(\displaystyle{ 2^{n}=2^{7}}\)
\(\displaystyle{ n=7}\)

Edyta1010 · Post autor: **Edyta1010** » 27 lut 2009, o 00:07

wielkie dzieki juz teraz widze ze nie spostrzeglam jednej rzeczy i dlatego mi nie wychodzilo