4 Całki nieoznaczone

volv · Post autor: **volv** » 23 lut 2009, o 23:19

1. \(\displaystyle{ \int ( \frac{dx}{ \sqrt{x^{2}+3x+4} })}\)

2. \(\displaystyle{ \int \frac {1}{x} \sqrt{2+lnx} dx}\)

3. \(\displaystyle{ \int ( \frac {1}{x^{5}}+ \frac{6x}{x^{2}+15})dx}\)

4. \(\displaystyle{ \int x^{2}sinxdx}\)

Z góry dziękuję za pomoc.

Viathor · Post autor: **Viathor** » 23 lut 2009, o 23:25

2.

\(\displaystyle{ lnx=t\\
\frac{1}{x} =dt\\

\\...= \int_{}^{} \sqrt{2+t}dt= \frac{2}{3} \sqrt{(2+lnx)^3}+C}\)

4.Przez częsci, \(\displaystyle{ x^2}\) jako funkcja

\(\displaystyle{ ...=-x^2cosx+2 \int_{}^{} xcosx=-x^2cosx+2xsinx- 2\int_{}^{} sinxdx=xcosx=-x^2cosx+2xsinx+2cosx+C}\)

3. ...\(\displaystyle{ = \int_{}^{} x^{-5}dx+ \int_{}^{} \frac{6xdx}{x^2+15}=- \frac{1}{4x^4}+3ln(x^2+15)+C}\)

Po rozbiciu na dwie całki podstawiamy t za mianownik i \(\displaystyle{ 6xdx=3dt}\)

losiu99 · Post autor: **losiu99** » 24 lut 2009, o 10:18

1)\(\displaystyle{ \dots=\int\frac{\mbox{d}x}{\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^2+\frac{7}{4}}}=\ln\left|x+\frac{3}{2}+\sqrt{x^2+3x+4}\right|+C}\)
Pozdrawiam.

volv · Post autor: **volv** » 24 lut 2009, o 14:38

Nadal nie rozumiem w jaki sposób został zrobiony przykład nr 3.

Ja otrzymuję:
\(\displaystyle{ - \frac{3}{2}(x^{2}+15)^{-2}+C}\)
Za t podstawiałem \(\displaystyle{ x^{2}+15}\)

Mógłby to ktoś rozpisać krok po kroku?

EDIT: Już zrozumiałem. Ja liczyłem na piechotę \(\displaystyle{ t^{-1}dt}\) zamiast zauważyć, że \(\displaystyle{ \int \frac{1}{t}=ln|t|}\).
W dodatku nawet na piechotę źle liczyłem. Wziąłem n-1, zamiast n+1 we wzorze. Stąd moje -2.

Dzięki za pomoc.

gufox · Post autor: **gufox** » 24 lut 2009, o 17:30

volv pisze:
4. \(\displaystyle{ \int x^{2}sinxdx}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} u=x ^{2},u'=2x \\ v'=sinx,v=-cosx \end{cases} =-x ^{2}cosx+2\int xcosxdx= \begin{cases} u=x,u'=1 \\ v'=cosx,v=sinx \end{cases}=-x ^{2}cosx+2xsinx-2\int sinx=-x ^{2}cosx+2xsinx+2cosx+C}\)

volv · Post autor: **volv** » 24 lut 2009, o 17:59

Jest ktoś w stanie rozpisać bardziej przejrzyście przykład nr 1?
Rozumiem przekształcenie pod mianownikiem, ale jak doszło do końcowego wyniku już nie mam pojęcia.

Dedemonn · Post autor: **Dedemonn** » 24 lut 2009, o 18:54

volv pisze:1. \(\displaystyle{ \int ( \frac{dx}{ \sqrt{x^{2}+3x+4} })}\)

\(\displaystyle{ = \int \frac{dx}{\sqrt{(x+\frac{3}{2})^2+\frac{7}{4}}} = \begin{bmatrix} x+\frac{3}{2} = t \\ dx = dt \end{bmatrix} = \int \frac{dt}{\sqrt{t^2+\frac{7}{4}}}}\)

Robimy kompletnie nieintuicyjne podstawienie:

\(\displaystyle{ t + \sqrt{t^2+\frac{7}{4}} = u \\
\sqrt{t^2+\frac{7}{4}} = u-t \quad \slash^2 \\
t^2 +\frac{7}{4} = u^2+t^2-2ut \\
u^2-\frac{7}{4} = 2ut \\
t = \frac{u^2-\frac{7}{4}}{2u} \quad \Rightarrow \quad dt = \frac{u^2+\frac{7}{4}}{2u^2}}\)

I jeszcze chcemy wyznaczyć \(\displaystyle{ \sqrt{t^2+\frac{7}{4}}}\) , aby móc zrobić podstawienie:

\(\displaystyle{ \sqrt{t^2+\frac{7}{4}} = u-t = u-\frac{u^2-\frac{7}{4}}{2u} = \frac{u^2+\frac{7}{4}}{2u}}\)

I wracając do całki:

\(\displaystyle{ \int \frac{u^2+\frac{7}{4}}{2u^2} \cdot \frac{2u}{u^2+\frac{7}{4}}\ du = \int \frac{du}{u} = ln\left| x+\frac{3}{2} + \sqrt{x^2+3x+4} \right| + C}\)

Pozdrawiam.

volv · Post autor: **volv** » 24 lut 2009, o 20:48

Wierzę na słowo heh. Zbyt skomplikowane jak dla mnie. Podstawianie z "u" i tak dalej. Nie rozumiem kompletnie.

Teraz nie dziwię się, dlaczego ten przykład był najwięcej punktowany. Dzięki!

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 28 lut 2009, o 01:25

Podstawienie którego użył Dedemonn to podstawienie Eulera
Można także skorzystac z tego że pochodna funkcji pierwotnej jest równa danej funkcji
oraz znając pochodne funkcji area (funkcje odwrotne do hypebolicznych)
można od razu przedstawic wynik za pomocą funkcji arsinh

\(\displaystyle{ arsinh\left(\frac{2x+3}{\sqrt{7}}\right)}\)