wzór i wyraz ciągu, nierówność

[gribby]

1. \(\displaystyle{ a_{n}= \frac{5n+6}{10(n+1)}}\). Podaj najmniejszą liczbę b i największą liczbę a takie, że dla każdego n zachodzi nierówność \(\displaystyle{ a \leq a_{n} \leq b}\).

2. \(\displaystyle{ a_{1}=1}\), \(\displaystyle{ a_{2}=2}\), \(\displaystyle{ a_{n+2}=2^{n-1} + a_{n} + a_{n+1}}\). Oblicz \(\displaystyle{ a_{4}}\)

3. \(\displaystyle{ S_{n} = n^2+3n}\). Podaj wzór ciągu \(\displaystyle{ a_{n}}\)

Proszę o pomoc.

[Matheux]

3. Po wypisaniu kilku pierwszych wyrazów stawiam tezę, że wzór ciągu może być dany np. rekurencyjnie:
\(\displaystyle{ a_{n}=a_{n-1}+2}\)
Dowiedziemy tego indukcyjnie. Najpierw zauważmy, że \(\displaystyle{ a_{n}=s_{n}-s_{n-1} (1)}\)
Założenie indukcyjne: Skoro dla wszystkich naturalnych \(\displaystyle{ t}\) mamy, że
\(\displaystyle{ a_{t}=a_{t-1}+2}\), to dla \(\displaystyle{ t+1}\), to wyrażenie będzie również prawdziwe.
Dla \(\displaystyle{ t=1}\) mamy prawdę. Z \(\displaystyle{ (1)}\) wiemy, że
\(\displaystyle{ a_{t+1}=(t+1)^{2}+3(t+1)-t^{2}-3t=2t+4 (2)}\)
Z założenia ind. mamy, że:
\(\displaystyle{ a_{t+1}=a_{t}+2}\), co równa się:
\(\displaystyle{ a_{t+1}=s_{t}-s_{t-1}+2}\), więc:
\(\displaystyle{ a_{t+1}=t^{2}+3t-t^{2}+2t-1-3t+3+2=2t+4}\), czyli \(\displaystyle{ (2)}\). Koniec zabawy. Mam nadzieję, że dobrze, bo na szybko..

[Grzegorz t]

3.
\(\displaystyle{ a_n=S_n-S_{n-1}=...=2n+2}\)

[gribby]

Matheux, z Twojego wzoru nie dojdę do \(\displaystyle{ a_{2}=2}\) (z treści zadania).