Pomozcie mi bi nie mam zielonego pojecia kiedy przy oznaczaniu ekstremum wyznaczamy jedna pochodna a kiedy dwie. Prosze o pomoc w rozwiazaniu ekstremow i wyznaczeniu minimum i maksimum i jeszcze chcialabym wiedziec kiedy moze nie byc ekstremum. Z gory dziekuje za pomoc.
1. \(\displaystyle{ (x-3)^{2}}\)*\(\displaystyle{ e^{x}}\)
EKSTREMUM
EKSTREMUM
\(\displaystyle{ f(x)=(x-3)^{2}e^{x}}\)
Liczymy I pochodną:
\(\displaystyle{ f'(x)=(x^2-4x+3)e^{x}}\)
Żeby wyznaczyć punkty, w których może wystąpić ekstremum przyrównujemy I pochodną do zera:
\(\displaystyle{ f'(x)=0}\)
\(\displaystyle{ (x^2-4x+3)e^{x}=0}\)
\(\displaystyle{ (x-1)(x-3)=0}\)
\(\displaystyle{ x=1 \vee x=3}\)
No i teraz mamy dwie możliwości sprawdzenia (do wyboru), w którym punkcie rzeczywiście jest ekstremum i jakie:
1 sposób
Liczymy II pochodną:
\(\displaystyle{ f''(x)=(x^2-2x-1)e^{x}}\)
I liczymy wartość tej pochodnej w naszych punktach, czyli
\(\displaystyle{ f''(1)=(1-2-1)e^{1}=-2e <0}\) (jeśli <0 to maksimum w tym punkcie)
\(\displaystyle{ f''(3)=(9-6-1)e^{3}=2e^3>0}\) (jeśli >0 to minimum w tym punkcie)
A jeśli wyszłoby \(\displaystyle{ f''(x_0)=0}\) to nie byłoby w \(\displaystyle{ x_0}\) ekstremum.
2 sposób
Badamy znak I pochodnej:
\(\displaystyle{ f'(x)>0}\)
\(\displaystyle{ (x-1)(x-3)e^x>0}\)
\(\displaystyle{ (x-1)(x-3)>0}\)
Na rysunku pomocniczym można zobaczyć, że otrzymamy przedział:
\(\displaystyle{ x \in \left(- \infty ,1 \right) \cup \left( 3,+ \infty \right)}\)
oraz \(\displaystyle{ f'(x)<0}\), gdy \(\displaystyle{ x \in \left( 1,3\right)}\)
W punkcie x=1 zmienia się znak pochodnej z + na -, więc mamy maksimum w tym punkcie.
W punkcie x=3 zmienia się znak pochodnej z - na +, więc mamy minimum w tym punkcie.
Jeżeli w jakimś punkcie \(\displaystyle{ x_0}\) znak nie zmieniałby się, to nie byłoby w tym punkcie ekstremum.
Liczymy I pochodną:
\(\displaystyle{ f'(x)=(x^2-4x+3)e^{x}}\)
Żeby wyznaczyć punkty, w których może wystąpić ekstremum przyrównujemy I pochodną do zera:
\(\displaystyle{ f'(x)=0}\)
\(\displaystyle{ (x^2-4x+3)e^{x}=0}\)
\(\displaystyle{ (x-1)(x-3)=0}\)
\(\displaystyle{ x=1 \vee x=3}\)
No i teraz mamy dwie możliwości sprawdzenia (do wyboru), w którym punkcie rzeczywiście jest ekstremum i jakie:
1 sposób
Liczymy II pochodną:
\(\displaystyle{ f''(x)=(x^2-2x-1)e^{x}}\)
I liczymy wartość tej pochodnej w naszych punktach, czyli
\(\displaystyle{ f''(1)=(1-2-1)e^{1}=-2e <0}\) (jeśli <0 to maksimum w tym punkcie)
\(\displaystyle{ f''(3)=(9-6-1)e^{3}=2e^3>0}\) (jeśli >0 to minimum w tym punkcie)
A jeśli wyszłoby \(\displaystyle{ f''(x_0)=0}\) to nie byłoby w \(\displaystyle{ x_0}\) ekstremum.
2 sposób
Badamy znak I pochodnej:
\(\displaystyle{ f'(x)>0}\)
\(\displaystyle{ (x-1)(x-3)e^x>0}\)
\(\displaystyle{ (x-1)(x-3)>0}\)
Na rysunku pomocniczym można zobaczyć, że otrzymamy przedział:
\(\displaystyle{ x \in \left(- \infty ,1 \right) \cup \left( 3,+ \infty \right)}\)
oraz \(\displaystyle{ f'(x)<0}\), gdy \(\displaystyle{ x \in \left( 1,3\right)}\)
W punkcie x=1 zmienia się znak pochodnej z + na -, więc mamy maksimum w tym punkcie.
W punkcie x=3 zmienia się znak pochodnej z - na +, więc mamy minimum w tym punkcie.
Jeżeli w jakimś punkcie \(\displaystyle{ x_0}\) znak nie zmieniałby się, to nie byłoby w tym punkcie ekstremum.
-
karolcia77
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 23 lut 2009, o 11:41
- Płeć: Kobieta
EKSTREMUM
Dziekuje bardzo mi to pomoglo a mam jeszcze jedno pytanie do innego przykladu i nie wiem jak poradzic sobie z logarytmem naturalnymi czy bedzie ekstremum czy nie i ile wynosi.
\(\displaystyle{ \frac{3-lnx}{x}}\)
bardzo dziekuje za pomoc mam poprawke z matmy wiec naprawde rozwiazane przyklady duzo mi pomagaja
\(\displaystyle{ \frac{3-lnx}{x}}\)
bardzo dziekuje za pomoc mam poprawke z matmy wiec naprawde rozwiazane przyklady duzo mi pomagaja
-
pepis
- Użytkownik
- Posty: 230
- Rejestracja: 13 gru 2007, o 16:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdynia
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 53 razy
EKSTREMUM
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{3-lnx}{x} \\
x \in (0;+ \infty ) \\
f'(x)=\frac{(- \frac{1}{x})(3-lnx) }{x^{2}}\\
f'(x)=0 \\
(- \frac{1}{x})(3-lnx)=0 \\
lnx=3 \\
x=e^{3} \\}\)
x \in (0;+ \infty ) \\
f'(x)=\frac{(- \frac{1}{x})(3-lnx) }{x^{2}}\\
f'(x)=0 \\
(- \frac{1}{x})(3-lnx)=0 \\
lnx=3 \\
x=e^{3} \\}\)
EKSTREMUM
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{3-lnx}{x}}\)
\(\displaystyle{ f'(x)=\frac{(3-lnx)'x-(3-lnx)x'}{x^2}= \frac{- \frac{1}{x}x-(3-lnx) }{x^2} = \frac{-4+lnx}{x^2}}\)
\(\displaystyle{ f'(x)=0}\)
\(\displaystyle{ -4+lnx=0}\)
\(\displaystyle{ lnx=4}\)
\(\displaystyle{ x=e^4}\)
\(\displaystyle{ f''(x)= \frac{(-4+lnx)'x^2-(-4+lnx)(x^2)'}{x^4} =\frac{ \frac{1}{x} x^2-(-4+lnx)2x}{x^4}=\frac{ 9x-2xlnx}{x^4}=\frac{ 9-2lnx}{x^3}}\)
\(\displaystyle{ f''(e^4)=\frac{ 9-2lne^4}{e^{12}}=\frac{ 9-8}{e^{12}}=\frac{1}{e^{12}}>0}\), więc minimum w tym punkcie
Ostatecznie
\(\displaystyle{ f_{min}=f(e^4)= \frac{-1}{e^4}}\)
\(\displaystyle{ f'(x)=\frac{(3-lnx)'x-(3-lnx)x'}{x^2}= \frac{- \frac{1}{x}x-(3-lnx) }{x^2} = \frac{-4+lnx}{x^2}}\)
\(\displaystyle{ f'(x)=0}\)
\(\displaystyle{ -4+lnx=0}\)
\(\displaystyle{ lnx=4}\)
\(\displaystyle{ x=e^4}\)
\(\displaystyle{ f''(x)= \frac{(-4+lnx)'x^2-(-4+lnx)(x^2)'}{x^4} =\frac{ \frac{1}{x} x^2-(-4+lnx)2x}{x^4}=\frac{ 9x-2xlnx}{x^4}=\frac{ 9-2lnx}{x^3}}\)
\(\displaystyle{ f''(e^4)=\frac{ 9-2lne^4}{e^{12}}=\frac{ 9-8}{e^{12}}=\frac{1}{e^{12}}>0}\), więc minimum w tym punkcie
Ostatecznie
\(\displaystyle{ f_{min}=f(e^4)= \frac{-1}{e^4}}\)