Sprawdź czy ciag jest zbieżny i ile wynosi jego granica

[AsKeR]

Sprawdź czy ciag jest zbieżny i jeśl jest to ile wynosi jego granica?
\(\displaystyle{ a_{n + 1}\,=\, \sqrt{ 2 + a_n }}\)
\(\displaystyle{ n N}\)
Zakładamy że \(\displaystyle{ a_1\,=\,\sqrt{ 2 }}\)

[g]

tex nie jest po to zeby pisac jak sie komu podoba a potem to tylko miedzy tagi wsadzic...

chcesz sprytny sposob, ktory jest naprawde imponujacy, sprytny sposob, ktory jest taki sobie, czy po prostu ordynarny sposob, w ktorym nie ma nic ciekawego?

[AsKeR]

poprosze wszystkie 3
a tak na serio to moze jakiś łopatologiczny sposób żeby to raz i porządnie zrozumiał

[g]

tu sa ten zwykly i ten imponujacy.
a ten sprytny taki sobie jest taki:
zauwazmy, ze \(\displaystyle{ \sqrt{2} = 2 \cos {\pi \over 4}}\). natomiast \(\displaystyle{ \sqrt{2 + \sqrt{2}} = 2 \cos {\pi \over 8}}\). ogolnie: \(\displaystyle{ a_n = 2 \cos {\pi \over 2^{n+1}}}\). a dlaczego? zauwazmy, ze \(\displaystyle{ a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n} = 2 \sqrt{{1 + \frac{a_n}{2} \over 2}}}\). jak polozymy \(\displaystyle{ a_n \equiv 2 \cos x}\) tp wyjdzie \(\displaystyle{ a_{n+1} = 2 \sqrt{{1 + \cos x \over 2}}}\). ale ten pierwiastek to nic innego, jak \(\displaystyle{ \cos {x \over 2}}\). prosta indukcja dokonczy dziela.

[ap]

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}a_n=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}=g\ \Right\ g=\sqrt{2+g},\ g>0}\)

\(\displaystyle{ g^2-g-2=0\ \Right\ g=2}\)

[g]

z tym, ze do tego trzeba najpierw pokazac, ze to g istenieje.

[ap]

[...]ile wynosi jego granica?[...]

To było do tego. Że jest rosnący i ograniczony z góry to czwarty raz pokazywać nie potrzeba .

[g]

no chyba ze tak. z tym, ze ja liczylem na to, ze granice tak prostego ciagu jak \(\displaystyle{ 2 \cos {\pi \over 2^{n+1}}}\) to sobie samemu mozna policzyc :J