Ekstrema warunkowe

bagienny · Post autor: **bagienny** » 21 lut 2009, o 19:03

Witajcie!

Chciałem się dowiedzieć w jaki sposób można policzyć ekstrema warunkowe, jeśli warunek jest nierównością. Przy równości nie ma problemu, stusując metodę mnożników Lagrange'a - ale nie mogę nigdzie w materiałach znaleźć co się robi w przypadku warunku będącego nierównością, np: odnalezienie ekstremów funkcji \(\displaystyle{ f(x,y) = x^2 + y^2 - 3x}\) pod warunkami \(\displaystyle{ x^2 + y^2 \le 3}\) i \(\displaystyle{ y \ge 2x^2}\)

kubkub · Post autor: **kubkub** » 21 lut 2009, o 20:21

A co ? uczysz się na poprawkę do Gasza ?

bagienny · Post autor: **bagienny** » 21 lut 2009, o 20:37

kubkub pisze:A co ? uczysz się na poprawkę do Gasza ?

OMGROTFLOLWTF?

Tak, poprawka u LG - any help? [;

kubkub · Post autor: **kubkub** » 21 lut 2009, o 21:06

Sam miałem pisać o pomoc z tym zadaniem. Mam nadzieje, że ktoś nam wytłumaczy

Post autor: **Rogal** » 21 lut 2009, o 21:55

Gdzieś to widziałem tłumaczone, w jakimś Ptaku albo Krysickim. W każdym razie z tego co pamiętam, to na pewno dobrze sobie narysować zbiór, który jest warunkiem. Następnie we wnętrzu tego zbioru szukamy ekstremów lokalnych jak zazwyczaj, badając odpowiednie pochodne, itp. Oczywiście sprawdzamy, czy punkty, które otrzymaliśmy siedzą w naszym zbiorze, który jest warunkiem.
Następnie musimy zbadać, co się dzieje na brzegu, czyli u nas mądrze jest sprawdzić, co się dzieje z funkcją, gdy \(\displaystyle{ y^{2} = 3 - x^{2}}\) lub \(\displaystyle{ y=2x^{2}}\). Mamy wtedy do czynienia ze zwykłą funkcją jednej zmiennej, szukamy jej ekstremów, tylko pamiętamy o dziedzinie na iksach.
Jak coś, to piszcie, będziemy myśleć wspólnie ; )

bagienny · Post autor: **bagienny** » 21 lut 2009, o 22:25

Hm, a może sprawdzić normalnie ekstrema, patrząc czy pasują do nierówności. A potem sprawdzić mnożnikami Lagrange'a sam brzeg? Miałoby to sens, czy mi się tylko wydaje?

Post autor: **Rogal** » 21 lut 2009, o 22:48

Nie znam się na mnożnikach Lagrange'a xD

bagienny · Post autor: **bagienny** » 22 lut 2009, o 14:03

Rogal pisze:Nie znam się na mnożnikach Lagrange'a xD

Mhm [;

Dobra, ale weźmy na przykład tylko pierwszy warunek, mnożnikami Lagrange'a zrobi się:
\(\displaystyle{ F(x,y,\lambda) = x^2 + y^2 - 3x - \lambda(x^2 +y^2 -3)}\) czyli licząc kolejne pochodne cząstkowe dostajemy układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases}
2x -3 -2\lambda x = 0\\
2y-2\lambda y = 0\\
x^2 + y^2 - 3 = 0 \\
\end{cases}}\)

I teraz wybaczcie, ale mam chwilowe zaćmienie i nie mam pojęcia jak to policzyć (wiem, że ma wyjść \(\displaystyle{ (x,y) = (\frac{-\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2})}\) jeśli ma to komuś pomóc). Pomocy!

Post autor: **Rogal** » 22 lut 2009, o 15:47

A może spróbuj zrobić tak, jak napisałem, to będziemy mogli obydwaj to kminić?