Witam.
Mam do rozwinięcie w szereg Taylora funkcję: \(\displaystyle{ f(x)= \frac{2}{3-2x}}\) wokół \(\displaystyle{ x_{0}=1}\)
Wszystko super, mam wzorek ale ten wzór dotyczy funkcji gdzie mam podane dodatkowo \(\displaystyle{ n}\) i to \(\displaystyle{ n>0}\), wtedy licze tyle pochodnych ile wynosi to \(\displaystyle{ n}\) i jest git ale co w przypadku gdy \(\displaystyle{ n=0}\)?? jak mam policzyć zerowa pochodną? Jest może do tego jakiś inny wzór? Pomóżcie.
I jeszcze jedno, jakim cudem wyszło im \(\displaystyle{ \sum_{ n=0 }^{\infty} 2 ^{n+1}(x-1) ^{n}}\)
Czy ktoś to rozumie??
Pozdrawiam
[ Dodano: 2 Grudnia 2008, 17:56 ]
naprawde nikt nie wie jak to się rozwiązuje??
Rozwinięcie w szereg Taylora
-
Fanik
- Użytkownik
- Posty: 217
- Rejestracja: 18 gru 2006, o 16:37
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 23 razy
Rozwinięcie w szereg Taylora
Zerowa pochodna funkcji to ona sama.
Tutaj glownym problemem jest odgadniecie (obliczenie) n-tej pochodnej tej funkcji w punkcjie x=1. mozna obliczyc sobie kilka poczatkowych i zobaczyc, ze kazda nastepna jest o dwa wieksza od poprzedniej, stad 2^n+1 we wzorze.
Tutaj glownym problemem jest odgadniecie (obliczenie) n-tej pochodnej tej funkcji w punkcjie x=1. mozna obliczyc sobie kilka poczatkowych i zobaczyc, ze kazda nastepna jest o dwa wieksza od poprzedniej, stad 2^n+1 we wzorze.
-
moriturius
- Użytkownik
- Posty: 12
- Rejestracja: 10 mar 2007, o 10:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
Rozwinięcie w szereg Taylora
Wiem, że stary temat, ale jest też inny bardzo prosty i szybki sposób na zrobienie tego zadania bez liczenia pochodnej.
Wiemy że \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } a_1 y^n = \frac{a_1}{1-y}}\) ponieważ jest to suma szeregu geometrycznego.
Skoro mamy ułamek prosty to możemy sprowadzić go do podobnej postaci:
\(\displaystyle{ \frac {2}{3-2x} = \frac{2}{3-2(x-1)-2} = \frac{2}{1-2(x-1)}}\)
Musi byc (x-1) poniewaz chcemy wiedziec jak jest dla \(\displaystyle{ x_0=1}\). Gdyby było np. \(\displaystyle{ i}\) to chcielibyśmy mieć (x-i).
Weźmy teraz \(\displaystyle{ y = 2(x-1)}\). Otrzymamy wówczas:
\(\displaystyle{ \frac {2}{1-y} = \sum_{n=0}^{\infty} 2 y^n = \sum_{n=0}^{\infty} 2 [2(x-1)]^n = \sum_{n=0}^{\infty} 2^{n+1} (x-1)^n}\)
Wiemy że \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } a_1 y^n = \frac{a_1}{1-y}}\) ponieważ jest to suma szeregu geometrycznego.
Skoro mamy ułamek prosty to możemy sprowadzić go do podobnej postaci:
\(\displaystyle{ \frac {2}{3-2x} = \frac{2}{3-2(x-1)-2} = \frac{2}{1-2(x-1)}}\)
Musi byc (x-1) poniewaz chcemy wiedziec jak jest dla \(\displaystyle{ x_0=1}\). Gdyby było np. \(\displaystyle{ i}\) to chcielibyśmy mieć (x-i).
Weźmy teraz \(\displaystyle{ y = 2(x-1)}\). Otrzymamy wówczas:
\(\displaystyle{ \frac {2}{1-y} = \sum_{n=0}^{\infty} 2 y^n = \sum_{n=0}^{\infty} 2 [2(x-1)]^n = \sum_{n=0}^{\infty} 2^{n+1} (x-1)^n}\)