Szereg przemienny

kubkub · Post autor: **kubkub** » 21 lut 2009, o 18:08

Witam! Bardzo proszę o pomoc przy rozwiązaniu szeregu

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \sin n \cos n tg^2 \frac{1}{n}}\)

Brzytwa · Post autor: **Brzytwa** » 21 lut 2009, o 18:42

Trzeba skorzystać z .

Post autor: **Rogal** » 21 lut 2009, o 18:55

Nawet nie trzeba, bo jest bezwzględnie zbieżny. Kryterium asymptotyczne a potem Dirichleta.

Post autor: **Frey** » 21 lut 2009, o 18:59

Leibnic tutaj chyba nie bardzo, bo w leibnicu ten ciąg powinien być dodatni...

a można by to oszacować bezwzględnie?

\(\displaystyle{ |(-1)^{n} \sin n \cos n tg^2 \frac{1}{n}|= |\sin n \cos n tg^2 \frac{1}{n}| \le | tg^2 \frac{1}{n}| \le |( \frac{1}{n})^2|= \frac{1}{n^2}}\)

czy to już przegięcie?

Post autor: **Rogal** » 21 lut 2009, o 19:25

Ostatnie raczej przeszacowałeś (acz nie będę się wykłócał ;p), ale to pozwala uniknąć przecież Dirichleta, więc sporo daje. Zamiast szacować tak jak Ty, wystarczy pokazać z asymptotycznego, że szereg o wyrazie z tym tangensem jest zbieżny.

Post autor: **Frey** » 21 lut 2009, o 19:37

masz na myśli, to przejście z tangensa do \(\displaystyle{ \frac{1}{n^2}}\) bo mi też się to nie podoba. Ale gdyby byłoby dobrze, to ułatwiałoby zadanie. No z asymptotycznego można.

kubkub · Post autor: **kubkub** » 21 lut 2009, o 19:59

Szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \tg^2 \frac{1}{n}}\)
jest zbieżny (z kryterium asymptotycznego). Jeżeli nierówność
\(\displaystyle{ |\sin n \cos n tg^2 \frac{1}{n}| \leqslant \tg^2 \frac{1}{n}}\)
zachodzi ( bo kompletnie nie wiem dlaczego), zatem na mocy kryterium porównawczego w/w szereg jest zbieżny. Czy mam rację?

Post autor: **Rogal** » 21 lut 2009, o 20:06

Zgadza się, masz rację.
A dlaczego zachodzi? Bo sin n i cos n są na moduł mniejsze od 1.

Post autor: **Frey** » 21 lut 2009, o 20:07

kubkub pisze:Szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \tg^2 \frac{1}{n}}\)
jest zbieżny (z kryterium asymptotycznego). Jeżeli nierówność
\(\displaystyle{ |\sin n \cos n tg^2 \frac{1}{n}| \leqslant \tg^2 \frac{1}{n}}\)
zachodzi ( bo kompletnie nie wiem dlaczego), zatem na mocy kryterium porównawczego w/w szereg jest zbieżny. Czy mam rację?

zapiszemy inaczej

\(\displaystyle{ |\sin n \cos n tg^2 \frac{1}{n}|= |\sin n|\cdot| \cos n|\cdot| tg^2 \frac{1}{n}| \le 1*1| tg^2 \frac{1}{n}|}\)

wiemy, że funkcje sinus i cosinus są ograniczone. Więc weźmy zawsze ich największą wartość, czyli 1. Zgadza się?