indukcja (3 krotkie zadania)

[evane]

czy moglby mi ktos pomoc w rozwiazaniu tych zadan:

Udowodnij, ze:
1. \(\displaystyle{ \sqrt{7}}\) nie nalezy do Q (czyli do liczb calkowitych)

2. 8 jest dzielnikiem wyrazenia \(\displaystyle{ 5^{n}+2*3^{n-1}+1}\)

3. \(\displaystyle{ \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+....+\frac{1}{3n+1}>1}\)

Wychodza mi w tych zadaniach bledy a musze je zrobic na dzisiaj wiec prosilabym o szybka podpowiedz !!!

Z gory dziekuje!!!

[Olo]

1. to raczej nie na indukcje:
Q to liczby wymierne! To że nie należy do całkowitych, to bardz łatwo udowodnić bez niczego.
Dowód nie wprost:
Załóżmy że \(\displaystyle{ \sqrt{7}=\frac{p}{q}}\), gdzie p i q należą do całkowitych i są względnie pierwsze. Wtedy:
\(\displaystyle{ 7=\frac{p^{2}}{q^{2}}7q^{2}=p^{2}}\)
To oznacza z teorii liczb, że \(\displaystyle{ 7|p^{2}}\) a ponieważ 7 nie jest kwadratem żadnej liczby, więc \(\displaystyle{ 7|p}\) więc \(\displaystyle{ 49|p^{2}}\) z tego wynika, że \(\displaystyle{ 49|7q^{2}}\) a z tego wynika, że \(\displaystyle{ 7|q^{2}7|q}\) zauważmy teraz że p i q mają wspólny dzielnik czyli nie są względnie pierwsze co dowodzi tezy.

2.T(1) to podstaw jeden i sprawdź.
T(n) prawda, czyli \(\displaystyle{ 8k=5^{n}+2*3^{n-1}+15^{n}=8k-2*3^{n-1}-1}\)
Sprawdzamy T(n+1): 5^{n+1} +2*3^{n}+1=(z zal ind)=5*(8k-2*3^{n-1}-1)+2*3^{n}+1=40k-10*3^{n-1}-5+6*3^{n-1}+1=4(10k-3^{n-1}-1)[/latex]
Zauważmy teraz, że liczba w nawiasie jest parzysta bo 3^n jest nieparzysta, i 1 jest nieparzysta i 10k jest parzysta. Co dowodzzi twierdzenia.

Narazie tyle

[evane]

nie rozumiem za bardzo tego co napisales w pierwszym przykladzie o tej teorii liczb ze 7 jedt dzielnikiem \(\displaystyle{ p^{2}}\) i tego co jest dalej. mozesz mi to jakos wytlumaczyc jasniej.

[Zlodiej]

3.

Można to zapisać tak:

\(\displaystyle{ 1-\frac{n}{n+1}+1-\frac{n+1}{n+2}+...+1-\frac{3n}{3n+1}>1}\)

Czyli mamy do udowodnienia nierówność:

Z: \(\displaystyle{ 3n-1>\frac{n}{n+1}+\frac{n+1}{n+2}+...+\frac{3n}{3n+1}}\)

T: \(\displaystyle{ 3n-1+3>\frac{n}{n+1}+\frac{n+1}{n+2}+...+\frac{3n}{3n+1}+\frac{3n+1}{3n+2}+\frac{3n+2}{3n+3}+\frac{3n+3}{3n+4}}\)

D: \(\displaystyle{ 3n-1+3>\frac{n}{n+1}+\frac{n+1}{n+2}+...+\frac{3n}{3n+1}+3}\)

Czyli zostaje nam do udowodnienia:

\(\displaystyle{ 3>\frac{3n+1}{3n+2}+\frac{3n+2}{3n+3}+\frac{3n+3}{3n+4}}\)

Po wymnożeniu stronami mamy:

\(\displaystyle{ 3(3n+2)(3n+3)(3n+4)>(3n+1)(3n+3)(3n+4)+(3n+2)(3n+2)(3n+4)+(3n+2)(3n+3)(3n+3)}\)

C.N.D.