Znaleźć rozwiązania układu równań jednorodnych

Gromnir · Post autor: **Gromnir** » 18 lut 2009, o 20:11

Znaleźć rozwiązania układu równań jednorodnych
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x+z=0 \\
x-2y-z=0 \\
2x+4y+4z=0 \end{cases}}\)
z góry dzięki za odpowiedz!!!

DoMini1606 · Post autor: **DoMini1606** » 18 lut 2009, o 22:38

Wyznacznik główny równy macierzy układu równy =0. Wakiej sytuacji układ może być albo sprzeczny, albo mieć nieskończenie wiele rozwiązań; w tym przypadku układ jest jednorodny, wyznaczniki Wx, Wy i Wz są równe 0, zatem układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Jakie?

Za pomocą operacji wierszowych możemy otrzymać macierz rozszerzoną układu:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} - \frac{3}{2} &1&0&|0\\2&0&1&|0\\0&0&0&|0\end{bmatrix}}\) Po takim przekształceniu łatwo już znaleźć rozwiązanie. Bierzemy kolumny wyróżnione i zapisujemy:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&|1\\0&| \frac{3}{2}\\0 &|-2\end{bmatrix}}\)
Rozwiązaniem układy jest:
\(\displaystyle{ X=\begin{bmatrix} 0\\0\\0\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1\\ \frac{3}{2} \\-2\end{bmatrix}t}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x=0\\y=0\\z=0\end{array}}\)
lub \(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x=t\\y= \frac{3}{2}t \\z=-2t\\t \in Z\end{array}}\)

Gromnir · Post autor: **Gromnir** » 19 lut 2009, o 07:31

2x+y+3x=0
2x+2y+3z=0
x-y=0
A to zadanie.

Dedemonn · Post autor: **Dedemonn** » 19 lut 2009, o 17:28

A to zadanie, to wzorując się na powyższym rozwiązaniu spróbuj zrobić sam.

Powiąż układ z macierzą i wykonuj operacje elementarne starając się doprowadzić do podobnej postaci jak powyżej.

Gromnir · Post autor: **Gromnir** » 19 lut 2009, o 17:47

z kąd wzieło się x y z =0 to wiem ale to lub proszę o podpowiedź-- 19 lut 2009, o 17:52 --skąd wzieło się x=t i y=3/2t

DoMini1606 · Post autor: **DoMini1606** » 19 lut 2009, o 21:34

A wiesz wogóle jak rozwiązuje się układy równań za pomocą macierzy?
Co do tego t - t to parametr, możesz za niego podstawić dowolną liczbę całkowitą. Jeśli nie rozumiesz skąd się to wzięło, wróć do tego momentu:
\(\displaystyle{ \begin{cases} - \frac{3}{2}x+y=0\\2x+z=0\end{cases}}\)
Co z tego widzisz? Mamy dwa równania z trzema niewiadomymi. Rozwiązanie nie może być jednoznaczne. Ustalamy sobie x=t i od niego uzależniamy pozostałe niewiadome.