moc RxR

[Pumba]

zbiór \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) jest mocy continuum, czy to oznacza, że \(\displaystyle{ \mathbb{R \times R}}\) tez ma moc continuum ? jesli tak to prosze o jakis dowod =]

bede bardzo bardzo wdzieczna za pomoc, z gory dziekuje =]

[Jan Kraszewski]

Tak, \(\displaystyle{ \mathbb{R}\times\mathbb{R}}\) też jest mocy continuum. Żaden z dowodów tego faktu nie jest krótki (przynajmniej ja takiego nie znam), dlatego prościej będzie, jak poszukasz go w standardowej literaturze.

JK

[Suvi]

a mnie się wydaje, że najkrótszy i najładniejszy dowód tego to skorzystanie z faktu, że: \(\displaystyle{ |R|=|\lbrace0,1\rbrace^N|=|\lbrace0,1\rbrace^{N\backslash P}|=|\lbrace0,1\rbrace^P|}\).
N - naturalne, P - parzyste:)
następnie wiemy przy założeniach \(\displaystyle{ B \cap C=\emptyset}\) że \(\displaystyle{ A^B \times A^C \sim A^{B \cup C}}\).


edit:
tak się teraz zastanawiam skąd znam ten dowód... a to nasz ulubiony wmsowski pdf: "Wstęp do matematyki" J.Kraszewski...
<zawstydzona> aż mi się głupio teraz zrobiło )
ale pozdrawiam serdecznie:)

[Jan Kraszewski]

No tak się składa, że znam ten dowód...
Tylko, że jest on poprzedzony dwoma nie całkiem trywialnymi lematami, które należałoby dołączyć do dowodu, by był on kompletny (+ dowód, że zbiór \(\displaystyle{ \{0,1\}^{\mathbb{N}}}\) jest mocy continuum). I wtedy przestaje on być na tyle krótki, by chciało mi się go wklepywać...

JK

[Lewap]

W "Dowodach z księgi" jest (o ile pamiętam) coś na temat. Jest tam chyba pokazane, że \(\displaystyle{ (0,1)\sim (0,1)\times (0,1)}\) i jest to zrobione przez take "zlepianie" (i "rozrywanie" odpowiednio) elementów. Czyli np. jeśli mamy \(\displaystyle{ 0.123055063302110\ldots\in (0,1)}\) to przypisujemy mu element \(\displaystyle{ (0.12306330\ldots,0.5502110\ldots)\in (0,1)\times(0,1)}\). Patrzymy więc po prostu gdzie leżą zera w rozwinięciu i na podstawie tego przekształcamy jedno na drugie wstawiając fragmenty "na przemian". Nie wiem, czy dokładnie tak to było, ale wygląda przekonująco, choć zapisanie tej bijekcji formalnie może być uciążliwe. No i pozostawałoby do pokazania, że \(\displaystyle{ (0,1)\times(0,1)\sim \mathbb{R}\times\mathbb{R}}\).