Witam, mój pierwszy temat/post.
Problem wygląda następująco:
Udowodnić indukcją matematyczną:
\(\displaystyle{ 19| 3^{3n-1} + 5 \cdot 2^{3n-2}}\)
Z góry Dzięki ;D
@Edit
Dla \(\displaystyle{ n \ge 1}\)
Podzielność przez 19.
Podzielność przez 19.
Ostatnio zmieniony 17 lut 2009, o 22:42 przez tkrass, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Nieczytalny zapis - brak LaTeX-a. Prosze zapoznac sie z instrukcja: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Poprawa wiadomości. Nieczytalny zapis - brak LaTeX-a. Prosze zapoznac sie z instrukcja: http://matematyka.pl/latex.htm .
-
pawelsuz
- Użytkownik
- Posty: 569
- Rejestracja: 15 gru 2008, o 18:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: BK
- Podziękował: 73 razy
- Pomógł: 40 razy
Podzielność przez 19.
dla n=1 sprawa jest oczywista:
Zakładam, ze dla n podzielność zachodzi, czyli
\(\displaystyle{ 3^{3n-1} + 5 \cdot 2^{3n-2}=19k \ , \ k \in C}\)
Teza: zachodzi dla n+1
Dowód:
\(\displaystyle{ 3^{3(n+1)-1} + 5 \cdot 2^{3(n+1)-2}= 3^{3n+2} + 5 \cdot 2^{3n+1}=27 \cdot 3^{3n-1} +8 \cdot 5 \cdot 2^{3n-2}=19 \cdot 3^{3n-1} +8 \cdot 3^{3n-1}+ 8 \cdot 5 \cdot 2^{3n-2}=19 \cdot 3^{3n-1} +8(3^{3n-1} + 5 \cdot 2^{3n-2})=19 \cdot 3^{3n-1} +19k=19( 3^{3n-1} + k)=19s \\
c.k.d.}\)
Zakładam, ze dla n podzielność zachodzi, czyli
\(\displaystyle{ 3^{3n-1} + 5 \cdot 2^{3n-2}=19k \ , \ k \in C}\)
Teza: zachodzi dla n+1
Dowód:
\(\displaystyle{ 3^{3(n+1)-1} + 5 \cdot 2^{3(n+1)-2}= 3^{3n+2} + 5 \cdot 2^{3n+1}=27 \cdot 3^{3n-1} +8 \cdot 5 \cdot 2^{3n-2}=19 \cdot 3^{3n-1} +8 \cdot 3^{3n-1}+ 8 \cdot 5 \cdot 2^{3n-2}=19 \cdot 3^{3n-1} +8(3^{3n-1} + 5 \cdot 2^{3n-2})=19 \cdot 3^{3n-1} +19k=19( 3^{3n-1} + k)=19s \\
c.k.d.}\)