Pochodna z x do potęgi x

pan_ciastko · Post autor: **pan_ciastko** » 17 lut 2009, o 19:22

Jak rozwiązuje się zadania, kiedy mamy \(\displaystyle{ x^{x}}\)? Ale żeby było bardziej wyraziście może mi to ktoś wytłumaczyć na tym przykładzie \(\displaystyle{ x^{sinx}}\) Wiem, że ma to jakiś związek z ln i chyba liczbą e ale to tylko jakieś przebłyski inteligencji. Proszę o pomoc

Rogal · Post autor: **Rogal** » 17 lut 2009, o 19:27

pan_ciastko jest płci żeńskiej - fajnie : )
Wystarczy skorzystać ze wzoru \(\displaystyle{ f(x)^{g(x)} = e^{g(x) \ln f(x)}}\)

Nakahed90 · Post autor: **Nakahed90** » 17 lut 2009, o 19:29

\(\displaystyle{ y=x^{sinx}}\)
\(\displaystyle{ lny=sinxlnx}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{y}*\frac{dy}{dx}=cosxlnx+\frac{sinx}{x}}\)
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=y(cosxlnx+\frac{sinx}{x})=x^{sinx}(cosxlnx+\frac{sinx}{x})}\)

pan_ciastko · Post autor: **pan_ciastko** » 17 lut 2009, o 19:37

Rogal właśnie korzystam z tego wzoru ale mi nie wychodzi, Nakahed90 tak ma być wynik, ale nie rozumiem skąd to się wzieło. Czemu ta lewa strona tak wygląda?

Rogal · Post autor: **Rogal** » 17 lut 2009, o 19:38

Dobrze, że Ci nie wychodzi, bo musiałbyś sobie schować ;p.
Znasz pochodną funkcji wykładniczej i pochodną złożenia?

pan_ciastko · Post autor: **pan_ciastko** » 17 lut 2009, o 19:43

Tak mi się wydawało, dopoki nie zaczełam rozwiązywać zadań. No ale przypuśćmy, że umiem. I jak to zrobic?

Rogal · Post autor: **Rogal** » 17 lut 2009, o 19:45

No właśnie z tych wzorów.

pan_ciastko · Post autor: **pan_ciastko** » 17 lut 2009, o 19:48

No ale nie wychodzi mi. Zostaje mi to e a poza tym reszta się zgadza.-- 17 lut 2009, o 19:54 --\(\displaystyle{ y'=(x^{sinx})'=(e^{lnxsinx})'=e^{lnxsinx}\frac{sinx}{x}+cosxlnx}\)

Rogal · Post autor: **Rogal** » 17 lut 2009, o 20:01

Istnieje coś takiego w matematyce jak nawias.

pan_ciastko · Post autor: **pan_ciastko** » 17 lut 2009, o 20:07

No dobrze, ma tam być nawias, ale dalej zostaje e!

Nakahed90 · Post autor: **Nakahed90** » 17 lut 2009, o 20:10

\(\displaystyle{ e^{lnx*sinx}=(e^{lnx})^{sinx}=x^{sinx}}\)

pogrzex · Post autor: **pogrzex** » 18 lut 2009, o 15:34

\(\displaystyle{ [[f(x)]^{g(x)}]'=[e^{g(x)ln(f(x))}]'=f(x)^{g(x)} \left[g'(x)ln(f(x))+g(x) \frac{f'(x)}{f(x)} \right]}\)