Pochodna

[Dzikster]

Obliczyć pochodną funkcji
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{ \sqrt{2x} }\ctg (\cos ( \ln ^{ \sqrt{2x} }\tg ^{4} x^{4}))}\)
Wyszło mi coś takiego, ale nie jestem pewien czy dobrze :
\(\displaystyle{ f'(x)=- \frac{1}{2 \sqrt{(2x) ^{3} } }\ctg (\cos ( \ln ^{ \sqrt{2x} }\tg ^{4} x^{4}))+\frac{1}{ \sqrt{2x} } \cdot (- \frac{1}{\sin ^{2}(\cos ( \ln ^{ \sqrt{2x} }\tg ^{4} x^{4})) } \cdot (-\sin ( \ln ^{ \sqrt{2x} }\tg ^{4} x^{4}) \cdot ( \frac{\ln tg ^{4}x ^{4} }{2 \sqrt{2x} }+ \frac{\sqrt{2x}}{\tg ^{4}x ^{4}} \cdot 4\tg ^{3}x ^{4} \cdot \frac{4x ^{3}}{\cos ^{2}x ^{4} } )}\)

[kate3]

funkcja
\(\displaystyle{ g \left( x \right) = \left( \ln \left( \tg ^{4} x^{4} \right) \right) ^{ \sqrt{2x}}}\)
to funkcja postaci
\(\displaystyle{ \left( f \left( x \right) \right) ^{g \left( x \right) }=e ^{\ln f \left( x \right) ^{g \left( x \right) } }=e ^{g \left( x \right) \cdot \ln f \left( x \right) }}\)
(nie wiem czy z tego korzystałeś)
w każdym razie w tym ostatnim nawiasie wyszło mi trochę inaczej

[miki999]

O, nareszcie jakiś zagmatwany przykład. 1. wyraz jest błędnie obliczony + przy potędze ln trochę się zagmatwałeś. Można '4' z potęgi tg przenieść przed logarytm. Spróbuję rozwiązać:
\(\displaystyle{ [ \frac{1}{ \sqrt{2x} } \ctg (\cos (4^{ \sqrt{2x}}\ln ^{ \sqrt{2x}} \tg x^{4}))]'=(t^{-1/2})' \cdot (2x)' \cdot \ctg (\cos (4^{ \sqrt{2x}}\ln ^{ \sqrt{2x}} \tg x^{4}))+ \frac{1}{ \sqrt{2x} } \cdot [ \ctg (\cos (4^{ \sqrt{2x}}\ln ^{ \sqrt{2x}} \tg x^{4}))]'=- \frac{1}{ \sqrt{(2x)^{3}} } \cdot \ctg (\cos (4^{ \sqrt{2x}}\ln ^{ \sqrt{2x}} \tg x^{4}))+ \frac{1}{ \sqrt{2x} } \cdot \ctg (u)' \cdot [\cos (4^{ \sqrt{2x}}\ln ^{ \sqrt{2x}} \tg x^{4})]'= - \frac{1}{ \sqrt{(2x)^{3}} } \cdot \ctg (\cos (4^{ \sqrt{2x}}\ln ^{ \sqrt{2x}} \tg x^{4}))+ \frac{1}{ \sqrt{2x} } \cdot \frac{-1}{\sin ^{2}(\cos (4^{ \sqrt{2x}}\ln ^{ \sqrt{2x}} \tg x^{4}))} \cdot (\cos (w))' \cdot [4^{ \sqrt{2x}}\ln ^{ \sqrt{2x}} \tg x^{4}]' = - \frac{1}{ \sqrt{(2x)^{3}} } \cdot \ctg (\cos (4^{ \sqrt{2x}}\ln ^{ \sqrt{2x}} \tg x^{4}))+ \frac{1}{ \sqrt{2x} } \cdot \frac{-1}{\sin ^{2}(\cos (4^{ \sqrt{2x}}\ln ^{ \sqrt{2x}} \tg x^{4}))} \cdot (-\sin (4^{ \sqrt{2x}}\ln ^{ \sqrt{2x}} \tg x^{4})) \cdot \red kk \black [4^{ \sqrt{2x}} \cdot \frac{\ln 4}{ \sqrt{2x} } \cdot \ln ^{ \sqrt{2x}} \tg x^{4}+4^{ \sqrt{2x}} \cdot e^{ \sqrt{2x} \ln (\ln (\tg x^{4})} \cdot [ \sqrt{2x} \cdot \ln (\ln (\tg x^{4}))]' ]= - \frac{1}{ \sqrt{(2x)^{3}} } \cdot \ctg (\cos (4\ln ^{ \sqrt{2x}} \tg x^{4}))+ \frac{1}{ \sqrt{2x} } \cdot \frac{-1}{\sin ^{2}(\cos (4\ln ^{ \sqrt{2x}} \tg x^{4}))} \cdot (-\sin (4\ln ^{ \sqrt{2x}} \tg x^{4})) \cdot \red kk \black [4^{ \sqrt{2x}} \cdot \frac{\ln 4}{ \sqrt{2x} } \cdot \ln ^{ \sqrt{2x}} \tg x^{4}+4^{ \sqrt{2x}} \cdot \ln ^{ \sqrt{2x}} \tg x^{4} \cdot [ \frac{1}{ \sqrt{2x} } \cdot \ln (\ln (\tg x^{4}))+ \sqrt{2x} \cdot (\ln (\ln (\tg x^{4})))' ]]= - \frac{1}{ \sqrt{(2x)^{3}} } \cdot \ctg (\cos (4\ln ^{ \sqrt{2x}} \tg x^{4}))+ \frac{1}{ \sqrt{2x} } \cdot \frac{-1}{\sin ^{2}(\cos (4\ln ^{ \sqrt{2x}} \tg x^{4}))} \cdot (-\sin (4\ln ^{ \sqrt{2x}} \tg x^{4})) \cdot [4^{ \sqrt{2x}} \cdot \frac{\ln 4}{ \sqrt{2x} } \cdot \ln ^{ \sqrt{2x}} \tg x^{4}+ 4^{ \sqrt{2x}} \cdot \ln ^{ \sqrt{2x}} \tg x^{4} \cdot [ \frac{1}{ \sqrt{2x} } \cdot \ln (\ln (\tg x^{4}))+ \sqrt{2x} \cdot ( \frac{1}{\ln (\tg x^{4})} \cdot \frac{1}{\tg x^{4}} \cdot \frac{4x^{3}}{\cos ^{2}(x^{4})})]]}\)

Ekstremalne
Zastosowane przeze mnie podstawienia na ogół odnoszą się do nawiasu, który się za nim znajduje.
Mam nadzieję, że sam niczego nie poplątałem.

Edit. :
A jednak również zrobiłem błąd, ponieważ nie mogłem wyłączyć pierwiastka z 4 przed ln ze względu na potęgę logarytmu, zaraz poprawię, powstanie iloczyn funkcji.

Edit. 2. :
Poprawione. Chociaż i tak nie gwarantuje, że jest dobrze.

Edit. 3. :
Znalazłem jeszcze 1 błąd- poprawiłem.


Pozdrawiam.

[miodzio1988]

miki999 szacun ;] przepraszam za off-topic , ale myslalem ze nikomu sie tego nie bedzie chcialo liczyc;]

[Dzikster]

O prosze wielkie dzięki , "respect":D

Wszystko juz jasne ale nadal nie wiem jak tą \(\displaystyle{ 4^{ \sqrt{2x}}ln^{ \sqrt{2x}} tgx^{4}}\) pochodna policzyles;/

[miki999]

Jest to pochodna iloczynu funkcji:
\(\displaystyle{ \left[ 4^{ \sqrt{2x}} \cdot \ln ^{ \sqrt{2x}} \tg x^{4} \right] '= \left[ 4^{ \sqrt{2x}} \right] ' \cdot \ln ^{ \sqrt{2x}} \tg x^{4} + 4^{ \sqrt{2x}} \cdot \left[ \ln ^{ \sqrt{2x}} \tg x^{4} \right] '}\)
W przypadku, kiedy x pojawia się w potędze, korzystamy z faktu:
\(\displaystyle{ f^{g}=e^{g\ln f} \\ \left( e^{f} \right) '=e^{f} \cdot \left( f \right) '}\)
Zatem u nas:
\(\displaystyle{ \left( 4^{ \sqrt{2x}} \right) '= \left( e^{ \sqrt{2x} \ln 4} \right) ' = e^{ \sqrt{2x} \ln 4} \cdot \left( \sqrt{2x} \ln 4 \right) '= 4^{ \sqrt{2x}} \cdot \ln 4 \cdot \frac{1}{ \sqrt{2x} }}\)

Zapomniałem usunąć, ale dla orientacji, gdzie wstawiałem powyższy fragment (obliczoną pochodną) widnieje symbol '\(\displaystyle{ \red kk}\)'- nic on nie znaczy tak sobie go napisałem, żeby się nie pogubić w zapisie oraz zaznaczyć miejsce zmian.


Dalej mamy:
\(\displaystyle{ \left( \ln ^{ \sqrt{2x}} \tg x^{4} \right) '= \left( e^{ \sqrt{2x} \cdot \ln \left( \ln \left( \tg x^{4} \right) \right) } \right) '=e^{ \sqrt{2x} \cdot \ln \left( \ln \left( \tg x^{4} \right) \right) } \cdot \left( \sqrt{2x} \cdot \ln \left( \ln \left( \tg x^{4} \right) \right) \right) '=\ pochodna\ iloczynu\ funkcji\ = \ln ^{ \sqrt{2x}} \tg x^{4} \cdot \left[ \left( \sqrt{2x} \right) ' \cdot \ln \left( \ln \left( \tg x^{4} \right) \right) + \sqrt{2x} \cdot \left( \ln \left( \ln \left( \tg x^{4} \right) \right) \right) ' \right]}\)
Dalej już chyba prosto.


@miodzio1988
Niech to będzie dla Ciebie motywacją . Istnieje jeszcze (np. w odnośnikach na dole) parę takich tematów bez odpowiedzi, gdzie trzeba się trochę rozpisywać, ale nie chcę odgrzewać starych kotletów. :> Wniosek: trzeba rozwiązywać takie problemy, póki jest czas.


Pozdrawiam.