ostrosłup(podstawa trójkąt równoboczny), i ostrosłup prawidł
-
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 16 wrz 2008, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: W-wa
- Podziękował: 7 razy
ostrosłup(podstawa trójkąt równoboczny), i ostrosłup prawidł
siemka, mam problem z tymi zadankami, z góry dzięki.
1.Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt równoboczny ABC o boku a. Krawędź AS o długości b tworzy z krawędziami podstawy AB i AC kąty równe alpha . Oblicz objętość.
i to ciekawsze.
2.W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt płaski ściany bocznej przy wierzchołku ostrosłupa ma miarę alpha . Przez środki dwóch kolejnych krawędzi podstawy oraz przez wierzchołek ostrosłupa poprowadzono płaszczyznę.
a)wyznacz tangens kąta, który tworzy ta płaszczyzna z płaszczyzną podstawy ostrosłupa.
b)Oblicz stosunek objętości brył podzielonych tą płaszczyzną.
Jakby ktoś od początku do końca mógł mi to wytłumaczyć byłbym bardzo wdzięczny tzn. głównie mi chodzi o ten kąt w 2 zad. , a 1 zad. to jakby mi całe mógł wytłumaczyć z góry dzięki, chyba się zaciąłem na tych zadaniach bo ich nie mogę ruszyć
1.Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt równoboczny ABC o boku a. Krawędź AS o długości b tworzy z krawędziami podstawy AB i AC kąty równe alpha . Oblicz objętość.
i to ciekawsze.
2.W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt płaski ściany bocznej przy wierzchołku ostrosłupa ma miarę alpha . Przez środki dwóch kolejnych krawędzi podstawy oraz przez wierzchołek ostrosłupa poprowadzono płaszczyznę.
a)wyznacz tangens kąta, który tworzy ta płaszczyzna z płaszczyzną podstawy ostrosłupa.
b)Oblicz stosunek objętości brył podzielonych tą płaszczyzną.
Jakby ktoś od początku do końca mógł mi to wytłumaczyć byłbym bardzo wdzięczny tzn. głównie mi chodzi o ten kąt w 2 zad. , a 1 zad. to jakby mi całe mógł wytłumaczyć z góry dzięki, chyba się zaciąłem na tych zadaniach bo ich nie mogę ruszyć
- Sherlock
- Użytkownik
- Posty: 2783
- Rejestracja: 19 lis 2008, o 18:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Pomógł: 739 razy
ostrosłup(podstawa trójkąt równoboczny), i ostrosłup prawidł
Zad. 2
Kąt ACB to nasz kąt płaski \(\displaystyle{ \alpha}\). Wyrazimy wysokość ostrosłupa \(\displaystyle{ H}\) za pomocą krawędzi \(\displaystyle{ a}\) podstawy, ale najpierw wyrazimy wysokość ściany bocznej \(\displaystyle{ h}\).
W trójkącie prostokątnym DCB:
\(\displaystyle{ ctg \frac{\alpha}{2}= \frac{h}{ \frac{a}{2} }}\)
\(\displaystyle{ h= \frac{a \cdot ctg \frac{\alpha}{2}}{2}}\)
Teraz z tw. Pitagorasa liczymy H:
\(\displaystyle{ H^2+ (\frac{a}{2})^2=h^2}\)
\(\displaystyle{ H^2= \frac{a^2 \cdot ctg^2 \frac{\alpha}{2} }{4}-\frac{a^2}{4}}\)
\(\displaystyle{ H^2= \frac{a^2(ctg^2 \frac{\alpha}{2}-1)}{4}}\)
\(\displaystyle{ H= \frac{a \sqrt{ctg^2 \frac{\alpha}{2}-1} }{2}}\)
Szukany kąt z punktu a) to \(\displaystyle{ \beta}\):
\(\displaystyle{ tg\beta = \frac{H}{x}}\)
\(\displaystyle{ x}\) to \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) przekątnej podstawy czyli \(\displaystyle{ x= \frac{a \sqrt{2} }{4}}\)
\(\displaystyle{ tg\beta= \frac{a \sqrt{ctg^2 \frac{\alpha}{2}-1} }{2} \cdot \frac{4}{a \sqrt{2}} = \sqrt{2ctg^2 \frac{\alpha}{2}-2}}\)
b) płaszczyzna dzieli ostrosłup na dwa ostrosłupy. Objętość tego mniejszego to:
\(\displaystyle{ V_1= \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2}{8} \cdot H}\)
objętość większego:
\(\displaystyle{ V_2= \frac{1}{3} \cdot (a^2-\frac{a^2}{8} ) \cdot H=\frac{1}{3} \cdot \frac{7a^2}{8} \cdot H}\)
\(\displaystyle{ \frac{V_1}{V_2}= \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{a^2}{8} \cdot H}{\frac{1}{3} \cdot \frac{7a^2}{8} \cdot H} = \frac{1}{7}}\)
masz może odpowiedzi do tego zadania oraz zadania 1?
Kąt ACB to nasz kąt płaski \(\displaystyle{ \alpha}\). Wyrazimy wysokość ostrosłupa \(\displaystyle{ H}\) za pomocą krawędzi \(\displaystyle{ a}\) podstawy, ale najpierw wyrazimy wysokość ściany bocznej \(\displaystyle{ h}\).
W trójkącie prostokątnym DCB:
\(\displaystyle{ ctg \frac{\alpha}{2}= \frac{h}{ \frac{a}{2} }}\)
\(\displaystyle{ h= \frac{a \cdot ctg \frac{\alpha}{2}}{2}}\)
Teraz z tw. Pitagorasa liczymy H:
\(\displaystyle{ H^2+ (\frac{a}{2})^2=h^2}\)
\(\displaystyle{ H^2= \frac{a^2 \cdot ctg^2 \frac{\alpha}{2} }{4}-\frac{a^2}{4}}\)
\(\displaystyle{ H^2= \frac{a^2(ctg^2 \frac{\alpha}{2}-1)}{4}}\)
\(\displaystyle{ H= \frac{a \sqrt{ctg^2 \frac{\alpha}{2}-1} }{2}}\)
Szukany kąt z punktu a) to \(\displaystyle{ \beta}\):
\(\displaystyle{ tg\beta = \frac{H}{x}}\)
\(\displaystyle{ x}\) to \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) przekątnej podstawy czyli \(\displaystyle{ x= \frac{a \sqrt{2} }{4}}\)
\(\displaystyle{ tg\beta= \frac{a \sqrt{ctg^2 \frac{\alpha}{2}-1} }{2} \cdot \frac{4}{a \sqrt{2}} = \sqrt{2ctg^2 \frac{\alpha}{2}-2}}\)
b) płaszczyzna dzieli ostrosłup na dwa ostrosłupy. Objętość tego mniejszego to:
\(\displaystyle{ V_1= \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2}{8} \cdot H}\)
objętość większego:
\(\displaystyle{ V_2= \frac{1}{3} \cdot (a^2-\frac{a^2}{8} ) \cdot H=\frac{1}{3} \cdot \frac{7a^2}{8} \cdot H}\)
\(\displaystyle{ \frac{V_1}{V_2}= \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{a^2}{8} \cdot H}{\frac{1}{3} \cdot \frac{7a^2}{8} \cdot H} = \frac{1}{7}}\)
masz może odpowiedzi do tego zadania oraz zadania 1?
- Sherlock
- Użytkownik
- Posty: 2783
- Rejestracja: 19 lis 2008, o 18:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Pomógł: 739 razy
ostrosłup(podstawa trójkąt równoboczny), i ostrosłup prawidł
Justka, podejrzewam, że w zad. 1 nie chodzi o prawidłowy ostrosłup trójkątny spodek wysokości leży zatem gdzie indziej, mam pewną koncepcję ale poczekam na ewentualną odpowiedź autora
- Justka
- Użytkownik
- Posty: 1680
- Rejestracja: 25 sty 2007, o 12:58
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 579 razy
ostrosłup(podstawa trójkąt równoboczny), i ostrosłup prawidł
No tak, racja ten ostrosłup wcale nie musi być prawidłowy To ja również czekam na ewentualne podanie odpowiedzi
p.s Teraz wyszło \(\displaystyle{ V=\frac{a^2b\sqrt{3-4cos^2\alpha}}{12}}\). Choć pewna tego wyniku nie jestem
p.s Teraz wyszło \(\displaystyle{ V=\frac{a^2b\sqrt{3-4cos^2\alpha}}{12}}\). Choć pewna tego wyniku nie jestem
-
- Użytkownik
- Posty: 813
- Rejestracja: 6 cze 2007, o 12:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław/Kąty Wrocławskie
- Pomógł: 206 razy
ostrosłup(podstawa trójkąt równoboczny), i ostrosłup prawidł
Mi wyszło tak samo jak Justce. Spodek wysokości leży na wysokości trójkąta równ. poprowadzonej z wierzchołka A. Wynik się zgadzaJustka pisze:Teraz wyszło\(\displaystyle{ V= \frac{a^2b \sqrt{3-4cos^2 \alpha}}{12}}\). Choć pewna tego wyniku nie jestem
Gdyb teraz np. krawędź \(\displaystyle{ AS=b}\) była prostopadła to płaszczyzny podstawy, \(\displaystyle{ \alpha=\sphericalangle SAC= \sphericalangle SAB=90^{\circ}}\), wtedy wysokość ostrosłupa \(\displaystyle{ H=AS=b}\) i objętość \(\displaystyle{ V= \frac{a^2b \sqrt{3} }{12}}\) , wynik ten otrzymamy z \(\displaystyle{ V= \frac{a^2b \sqrt{3-4cos^2 \alpha}}{12}}\), gdzie \(\displaystyle{ cos\alpha=0}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 16 wrz 2008, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: W-wa
- Podziękował: 7 razy
ostrosłup(podstawa trójkąt równoboczny), i ostrosłup prawidł
Właśnie niestety nie mam odpowiedzi do 1 zadania, za to do 2 wynik wyszedł taki jak podał Sherlock. Ale znając te zadania podejrzewam, że wynik(Justki) jest dobry, jakbyś podała jeszcze sposób rozwiązania to byłbym wdzięczny.
ostrosłup(podstawa trójkąt równoboczny), i ostrosłup prawidł
oblicz pole powierzchni całkowitej i objętości ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego krawędź podstawy jest równa 6 cm, a wysokość ściany cocznej jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60 stopni. Proszę o pomoc w tym zadaniu.
- Sherlock
- Użytkownik
- Posty: 2783
- Rejestracja: 19 lis 2008, o 18:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Pomógł: 739 razy
ostrosłup(podstawa trójkąt równoboczny), i ostrosłup prawidł
zerknij na rysunek wyżej, ten po prawejnogawka pisze:oblicz pole powierzchni całkowitej i objętości ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego krawędź podstawy jest równa 6 cm, a wysokość ściany cocznej jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60 stopni. Proszę o pomoc w tym zadaniu.
Wg treści a=6, wysokość h jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60 stopni więc:
\(\displaystyle{ tg60^0= \frac{H}{ \frac{a}{2} }}\)
wylicz H i już możesz policzyć objętość
Do pola powierzchni potrzeba policzyć h:
\(\displaystyle{ sin60^0= \frac{H}{h}}\)
PS dla nowych zadań zakładaj osobne tematy
ostrosłup(podstawa trójkąt równoboczny), i ostrosłup prawidł
dzięki a mam takie pytanie nie trzeba wyciągać tego trójkąta co wyjdzie z tej wysokości bocznej??????
-- 15 lut 2009, o 14:04 --
proszę pomocy wzory do tego zadania bo nie było mnie w szkole przez 1 tydzień i nie wiem jak to zrobić jak byłem to były jeszcze graniastosłupy
Załóż nowy osobny temat, to na pewno znajdzie się osoba, która odpowie na twoje pytania. Justka.
-- 15 lut 2009, o 14:04 --
proszę pomocy wzory do tego zadania bo nie było mnie w szkole przez 1 tydzień i nie wiem jak to zrobić jak byłem to były jeszcze graniastosłupy
Załóż nowy osobny temat, to na pewno znajdzie się osoba, która odpowie na twoje pytania. Justka.
- Justka
- Użytkownik
- Posty: 1680
- Rejestracja: 25 sty 2007, o 12:58
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 579 razy
ostrosłup(podstawa trójkąt równoboczny), i ostrosłup prawidł
Z tw. cosinusów obliczamy długość krawędzi bocznej |CS|(c);
\(\displaystyle{ c^2=a^2+b^2-2ab cos\alpha}\) i korzystając z tego obliczamy wysokość ściany bocznej (o bokach a,c,c), czyli
\(\displaystyle{ h=\sqrt{c^2-(\frac{a}{2})^2} \iff h=\sqrt{\frac{3}{4}a^2+b^2-2ab cos\alpha }}\).
Korzystając z obliczonego h i tego że spodek wysokości lezy na wysokości poprowadzonej z wierzchołka A otrzymujemy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} h^2-x^2=H^2 \\ b^2-(\frac{a\sqrt{3}}{2}-x)^2=H^2 \end{cases}}\)
Po krótkich przekształceniach
\(\displaystyle{ H=\frac{b\sqrt{3-4cos^2\alpha}}{\sqrt{3}}}\)
Podstawiając pod wzór \(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}PpH}\) dochodzimy do ostatecznego wyniku \(\displaystyle{ V=\frac{a^2b\sqrt{3-4cos^2\alpha}}{12}}\)
\(\displaystyle{ c^2=a^2+b^2-2ab cos\alpha}\) i korzystając z tego obliczamy wysokość ściany bocznej (o bokach a,c,c), czyli
\(\displaystyle{ h=\sqrt{c^2-(\frac{a}{2})^2} \iff h=\sqrt{\frac{3}{4}a^2+b^2-2ab cos\alpha }}\).
Korzystając z obliczonego h i tego że spodek wysokości lezy na wysokości poprowadzonej z wierzchołka A otrzymujemy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} h^2-x^2=H^2 \\ b^2-(\frac{a\sqrt{3}}{2}-x)^2=H^2 \end{cases}}\)
Po krótkich przekształceniach
\(\displaystyle{ H=\frac{b\sqrt{3-4cos^2\alpha}}{\sqrt{3}}}\)
Podstawiając pod wzór \(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}PpH}\) dochodzimy do ostatecznego wyniku \(\displaystyle{ V=\frac{a^2b\sqrt{3-4cos^2\alpha}}{12}}\)