[LX OM]II etap - jak wam poszło?

[frej]

Jak w temacie. Ja niestety spieprzyłem, nie mam niczego. Bardzo dużo czasu poświęciłem na nierówność, której niestety nie zrobiłem... Swoją drogą to ciekawy jestem waszych rozwiązań, bo niestety nie mam pomysłu jak to ruszyć... Trochę głupio zrobiłem, bo skupiłem się na pierwszym a nie na drugim, a trzecie to wogóle tylko trochę próbowałem ruszyć. U nas w okręgu, przynajmniej z tych ludzi co znam, wyniki ogólnie słabe. Jak tam u was? Jak szacujecie próg po pierwszym dniu?

[patry93]

Zadania, zadania, pokażcie zadania!
Ktoś chyba ma skany?

[Wasilewski]

1) Mamy liczby:
\(\displaystyle{ a_{1} \ge a_{2} \ge \ldots \ge a_{n} > 0}\)
Udowodnić:
\(\displaystyle{ a_{1} a_{2} \ldots a_{n-1} + (2a_{2}-a_{1})(2a_{3} -a_{2})\ldots (2a_{n} - a_{n-1}) \ge 2a_{2}a_{3}\ldots a_{n}}\)
2) a>b>1. a+b dzieli ab+1, a-b dzieli ab-1. Wykazać, że:
\(\displaystyle{ a < \sqrt{3}b}\)
3) Okręgi o środkach \(\displaystyle{ I_{1} \ i \ I_{2}}\) są styczne do prostej k w punktach \(\displaystyle{ A_{1} \ i \ A_{2}}\) (leżą po tej samej stronie). Punkt C leży na odcinku \(\displaystyle{ I_{1}I_{2}}\), przy czym \(\displaystyle{ \angle A_{1}CA_{2} = 90^{\circ}}\). \(\displaystyle{ B_{1}}\) to punkt przecięcia prostej \(\displaystyle{ A_{1}C}\) z pierwszym okręgiem, różny od \(\displaystyle{ A_{1}}\). Punkt \(\displaystyle{ B_{2}}\) zdefiniowany analogicznie. Wykazać, że prosta \(\displaystyle{ B_{1}B_{2}}\) jest styczna do obu okręgów.
Rozwiązanie pierwszego:

Ukryta treść:    

Najpierw przez indukcję:
\(\displaystyle{ a_{2}a_{3} \ldots a_{n} \ge (2a_{2} - a_{1})(2a_{3} - a_{2})\ldots(2a_{n} - a_{n-1})}\)
A potem wyjściowa nierówność przez indukcję, na końcu wychodzi:
\(\displaystyle{ (a_{n} -a_{n+1})(a_{2}a_{3}\ldots a_{n} - (2a_{2}-a_{1})(2a_{3} - a_{2})\ldots (2a_{n} - a_{n-1}) \ge 0}\)
Mam nadzieję, że się w tym nie pomyliłem.

[matex_06]

W pierwszym zadniu masz chyba błąd tak jak więklszość ludzi... trzeba rozpatrzec z wartoscia bezwzgledna ale to tylko taka sugestia z mojej strony

W warszawskim wiele osob ma o za 3 i w sumie spora czesc ma 12 ja mam 8...

powodzenia jutro
jak myslicie co dadzą?

[Dumel]

chyba to co zwykle- kombi, geo i funkcje/ciągi

[wiślak]

treść zadań:    

1. Liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a_1, a_2,...,a_n (n \ge 2)}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ a_1 \ge a_2 \ge... \ge a_n>0}\). Udowodnić nierówność:
\(\displaystyle{ a_1a_2...a_{n-1}+ (2a_2-a_1)(2a_3-a_2)...(2a_n-a_{n-1}) \ge 2a_2a_3...a_n}\)

2. Dane są takie liczby całkowite \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), że \(\displaystyle{ a>b>1}\) oraz liczba \(\displaystyle{ ab+1}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ a+b}\), zaś liczba \(\displaystyle{ ab-1}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ a-b}\). Wykazać \(\displaystyle{ a<b \sqrt{3}}\)

3. Rozłączne okręgi \(\displaystyle{ o_1}\) i \(\displaystyle{ o_2}\) o śroskach odpowiednio \(\displaystyle{ I_1}\) i \(\displaystyle{ I_2}\) są styczne do prostej \(\displaystyle{ k}\) odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ A_1}\) i \(\displaystyle{ A_2}\) oraz leżą po tej samej jej stronie. Punkt \(\displaystyle{ C}\) leży na odcinku \(\displaystyle{ I_1I_2}\), przy czym \(\displaystyle{ \sphericalangle A_1CA_2=90^{o}}\). Dla \(\displaystyle{ i=1,2}\) niech \(\displaystyle{ B_i}\) będzie punktem różnym od \(\displaystyle{ A_i}\), w którym prosta \(\displaystyle{ A_iC}\) przecina okrąg \(\displaystyle{ o_i}\). Dowieść, że prosta \(\displaystyle{ B_1B_2}\) jest styczna do okręgów \(\displaystyle{ o_1}\) i \(\displaystyle{ o_2}\)

Ja drugiego nie mam w ogóle, w pierwszym jakieś głupoty, próbowałem ze średnimi potęgowymi, ale to że 2 przypadki wydawało mi się oczywiste. Trzecie jakoś poszło, do pełnego dowodu brakowało mi podobieństwa dwóch trójkątów (miałem wykazany ten sam kąt i jeden bok), więc prawdopodobnie 2 punkty będą. Próg po pierwszym dniu zapowiada się raczej nisko, wg mnie jakieś 10-14 pkt.

[tkrass]

Ja to pierwsze zrobiłem inaczej niż wszyscy, ale też indukcją i sądzę, że dobrze. Drugie mam źle, trzeciego nie mam.

[TomciO]

Zadanie 3 jest przeformułowaniem zadania ze starego Zwardonia. Konkretnie

Drugi mecz matematyczny zadanie 4.

[mnij]

kurde, napisałem posta i się nie wysłało xp więc w skrócie 1 i 2 ale z na bank z lukami więc raczej gorzej niż lepiej.

[Swistak]

W warszawskim wiele osob ma o za 3 i w sumie spora czesc ma 12 ja mam 8...

To mamy inne wiadomości, bo ja też jestem z warszawskiego i z moich znajomych nikt nie zrobił 3, jedna osoba zrobiła 2, 2-3 zrobiły 1. I na korytarzach się dało usłyszeć, że bardzo trudne zadania w tym roku .

Ja jestem na siebie strasznie wkurzony!

Moje wypociny w zad 1:    

Wpaść, że 1 się robi indukcją to 90% zadania, a ja zacząłem robić indukcja i zrobiłem jakiś głupi błąd obliczeniowy i doszedłem do sprzeczności ;(. Gdybym zrobił, to byłby wielki powód do dumy, bo zrobić nierówność, której frej nie zrobił, jest naprawdę ciężko .

Moje wypociny w zad 2:    

W 2 moje wypociny sprowadziły się do tego, że \(\displaystyle{ (a-1)(b-1)=(a+b)(n-1) \ \ (a+1)(b-1)=(a-b)(k-1)}\), gdzie \(\displaystyle{ ab+1=(a+b)n \ \ ab-1=(a-b)k}\) i że teza będzie udowodniona, jeżeli \(\displaystyle{ a^{2}+1 \le 3b^{2}}\)

Moje wypociny w zad 3:    

Okrąg na punktach \(\displaystyle{ A_{1}, A_{2}, C', C}\), gdzie C' i C to możliwe punkty C, potem parę kątów wpisanych, dopisanych i wyszło mi, że \(\displaystyle{ B_{1}I_{1} || B_{2}I{2}}\). Może 2 punkty dostanę.

Mam nadzieję, ze jutro będzie hardkorowa kolorowanka/(pół)niezmienniki jako zad 6, jakieś średnie geo i równanie funkcyjne.

[snm]

Ja mam pierwsze - i jestem zadowolony
Apropos tego, co mówi świstak - równoległość B1I1 i B2I2 jest dość oczywista, co więcej - nic nie daje.

[danio]

Ja też nie mam nic :/

Próbowałem machnąć pierwsze indukcją, ale nie mogłem wpaść jaki krok zrobić, żeby było ok. Nad 3. spędziłem trochę za dużo czasu, a zawsze jak już myślałem, że coś mam to okazywało się, że korzystałem z założenia - miałem za dobry rysunek, który wszystko sugerował. Moje wypociny z 2. też nie są nic warte...

[hanys]

Ja mam pierwsze - i jestem zadowolony

a masz moduły?

ja mam 2, pierwsze bez modulow i polowe trzeciego (nie zdazylem dokonczyc)

[Swistak]

Po krótkiej rozmowie na gg z tkrassem doszedlem do wniosku, że jego ostateczna wersja rozwiązania, to, że \(\displaystyle{ b(a^{2}-1) \ge 2}\) ;].

[tkrass]

To nie jest moja ostateczna wersja, lecz skoro się zorientowałem, iż moja ostateczna wersja jest zła, to bez sensu tłumaczyć to dalej, bo jeszcze nabierzesz złych nawyków.