r. logarytmiczne 3go stopnia z parametrem

[mateusz200414]

witam!

nie mam pomysłu jak się za to chwycić, pomożecie?

zad. 3 Wyznacz wartości parametru m, dla których równanie \(\displaystyle{ x^3-3x=log_{\frac{1}{2}} m}\) ma trzy różne rozwiązania.

[edit]: jeszcze jedno...

zad. 5 Wyznacz te wartości parametru m, dla których równanie \(\displaystyle{ x^2-(1+log_8 m^3)x+6=0}\) ma dwa różne rozwiązania, których odległość jest równa 1.

pozdrawiam

[Ptaq666]

Twoje równanie sprowadź do postaci \(\displaystyle{ x^{3} -3x -log_{\frac{1}{2}}m = 0}\)

Jest to postać kanoniczna \(\displaystyle{ x^{3} +px +q = 0}\) równania 3 stopnia.

Niech \(\displaystyle{ p = -3 \ \ \ q = -log_{\frac{1}{2}}m}\)

Wzór na deltę wygląda tak : \(\displaystyle{ \Delta = (\frac{p}{3})^{3} + (\frac{q}{2})^{2}}\)

I teraz ktoś tam wymyślił, że jeśli delta jest ujemna, to równanie ma 3 pierwiastki rzeczywiste, więc

\(\displaystyle{ \Delta = (\frac{p}{3})^{3} + (\frac{q}{2})^{2} < 0 \Rightarrow (\frac{-3}{3})^{3} + (\frac{-log_{\frac{1}{2}}m}{2})^{2} < 0}\)

No i trzeba tylko to teraz rozwiązać.

Otrzymamy : \(\displaystyle{ -2 < log_{\frac{1}{2}}m <2 \Rightarrow \frac{1}{4} < m < 4}\)


Do drugiego podam ci warunki i już sam policz.

\(\displaystyle{ \Delta > 0 \\ |x_{1}-x_{2}| = 1 \Rightarrow | \frac{\sqrt{\Delta}}{a} | =1}\)

[mateusz200414]

w tym drugim starałem się jakoś zastosować vieta i to mnie zgubiło
pierwsze... można tu sobie poradzić bez znajomości tej postaci kanonicznej?

[Ptaq666]

Pewnie można (tylko w sumie nie wiem jak), ale to równanie jest takie, że aż się prosi żeby tego użyć. Jak chcesz to bardziej ogarnąć trochę, to wejdź tutaj ... go_stopnia

Wszystko jest krok po kroku opisane.