[Teoria liczb] Zadanie drugoetapopodobne

[matex_06]

Znajdź wszystkie pary liczb naturalnych, że:

\(\displaystyle{ y|x^2+1}\)
\(\displaystyle{ x^2|y^3+1}\)

[ojciec_kogut]

Zrób ktoś to zadanie ;]

[XMaS11]

\(\displaystyle{ y|x^2+1 \ (1)}\)
\(\displaystyle{ x^2|y^3+1 \ (2)}\)

Mamy zatem dla pewnego naturalnego k
\(\displaystyle{ ky=x^2+1 \ (3)\\
y=\frac{x^2+1}{k}}\)
Wstawiamy to do \(\displaystyle{ \ (2)}\)
\(\displaystyle{ x^2|(\frac{x^2+1}{k})^3+1\\
x^2|k^3+1}\)
Korzystając z \(\displaystyle{ (3)}\) dostajemy:
\(\displaystyle{ yk-1|k^3+1\\
yk-1|y^3+1}\)
Czyli równoważnie
\(\displaystyle{ yk-1|(k+1)(k^2-k+1) \ (4)\\
yk-1|(y+1)(y^2-y+1) \ (5)}\)
Teraz najciekawsze : zauważmy, że
\(\displaystyle{ (yk-1,k+1)=(yk-1+(k+1),k+1)=(yk+k,k+1)=(k(y+1),k+1)=(y+1,k+1)=(y+1,y(k+1))=\\
=(y+1,yk+y)=(y+1,yk-1) \ (6)}\)
1.Niech\(\displaystyle{ y>k}\) (równość osobno sprawdzimy)
Załóżmy też, że \(\displaystyle{ y,k>1}\) (pozostałe przypadki osobno)
Z \(\displaystyle{ (4),(5),(6)}\) dostajemy:
\(\displaystyle{ yk-1|(y+1)(k^2-k+1)}\)
Przekształcając kolejno:
\(\displaystyle{ yk-1|yk^2-yk+y+k^2-k+1\\
yk-1|y+k^2-(yk-1)+k(yk-1)\\
yk-1|y+k^2}\)
\(\displaystyle{ yk\geqslant y+2\\
yk>k^2}\)
Co daje:
\(\displaystyle{ 2yk-2>y+k^2}\), czyli na mocy wczesniej pokazanej podzielności
\(\displaystyle{ yk-1=y+k^2\\
yk-y=k^2+1}\)
Stąd
\(\displaystyle{ k-1|2\\
k=3,y=5}\)
Teraz z \(\displaystyle{ (3)}\) dostajemy
\(\displaystyle{ x^2=14}\)
Może też być \(\displaystyle{ k=2}\)
Wtedy dostaniemy:
\(\displaystyle{ x=3,y=5}\)
\(\displaystyle{ x=1,y=2}\)
Teraz zostaje nam go sprawdzenia: któraś z liczb \(\displaystyle{ y,k}\) jest równa \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ y=k}\).
Jednak \(\displaystyle{ y=k}\) prowadzi natychmiast do sprzeczności z \(\displaystyle{ (3)}\). Zostaje sprawdzić pierwszą możliwość.
Jeśli \(\displaystyle{ y}\) lub \(\displaystyle{ k}\) jest równe \(\displaystyle{ 1}\) to dostajemy;
\(\displaystyle{ x^2|2}\), czyli \(\displaystyle{ x=1}\).


2.Jeśli zaś \(\displaystyle{ k>y}\)
to dostajemy analogicznie
\(\displaystyle{ y-1|2}\)
Zatem
\(\displaystyle{ y=3}\) lub
\(\displaystyle{ y=2}\)
Dla \(\displaystyle{ y=2}\) dostajemy rozwiązania:
\(\displaystyle{ x=1,3}\)
Dla \(\displaystyle{ y=3}\) nie dostajemy żadnych rozwiązań.

[kaszubki]

Chyba jednak nie, bo jak weźmiemy y=2, x=1 to będzie prawidłowo.

[XMaS11]

Ok, dzięki, ale pomyliłem się tylko w dwóch ostatnich linijkach ;p Dostajemy
\(\displaystyle{ x=1}\), czyli
\(\displaystyle{ y=1}\) lub \(\displaystyle{ y=2}\)
Przy czym
\(\displaystyle{ y=2}\)
oczywiście tylko wtedy, gdy to \(\displaystyle{ k}\) było równe 1.

[kaszubki]

Musisz mieć gdzieś jeszcze błąd, gdyż jeśli podstawimy x=3 i y=2 to znów jest prawidłowo :p

[XMaS11]

-.-
dobra poddaje sie.
Edit:
wydaje mi się, że te rozwiązania uciekły bo się pospieszyłem przy końcu.
Do momentu założenia \(\displaystyle{ y>k}\) jest O.K, nie sprawdziłem gdy nierówność zachodzi w drugą stronę, wtedy wychodzi też to drugie rozwiązanie podane przez kaszubki. Jak ktoś wskaże błąd wcześniej lub potwierdzi, że jest O.K.to będę wdzięczny.