Całkowanie przez podstawianie

szak · Post autor: **szak** » 10 lut 2009, o 18:41

Witam, mam pewnien problem. Chciałbym żeby ktoś dobrze wyjaśnił jedną kwestię związaną z całkowaniem przez podstawianie. Załóżmy że mamy całkę:

\(\displaystyle{ \int sinx cosx dx}\)

To tylko przykład. Jedym ze sposobów na jej rozwiązanie jest podstawianie. I teraz :

\(\displaystyle{ cosx = t}\), oraz
\(\displaystyle{ sinx dx = -dt}\).

Dla czego przed dt jest \(\displaystyle{ -}\) ?

Analogicznie patrząc na przykład trudniejszy:

\(\displaystyle{ \int x sin(2x^2+1) dx}\)

\(\displaystyle{ t = 2x^2+1}\)
\(\displaystyle{ dt = 4xdx}\)

Skąd \(\displaystyle{ dt = 4xdx}\)? Na jakiej zasadzie przed \(\displaystyle{ xdx}\) jest \(\displaystyle{ 4}\)?
Z góry dzięki za odpowiedź. Pozdrawiam

Post autor: **Szemek** » 10 lut 2009, o 18:43

różniczkowanie stronami

szak · Post autor: **szak** » 10 lut 2009, o 18:56

eee, aha...

ps. Jakby ktoś miał czas i chęć napisac jakie dzialania konkretnie wykonano w tych przykladach, bylbym wdzieczny

Post autor: **Szemek** » 10 lut 2009, o 19:19

konkretnie - policzone pochodne

NomacK · Post autor: **NomacK** » 10 lut 2009, o 19:36

\(\displaystyle{ \int sinx cosx dx}\)

\(\displaystyle{ sinx = t}\)
Podstawiam za sinx -> t i teraz robie pochodne obu stron, czyli (sinx)' oraz (t)' Wychodzi:
\(\displaystyle{ cosxdx = dt}\)
Pamietamy, ze w momenciu rozniczkowania dx i dt pojawic sie musi.

Teraz wykorzystujemy to w calce i:
\(\displaystyle{ \int tdt \ = \ \frac{t^{2}}{2}+C \ = \ \frac{sin^{2}x}{2}+C}\)

Wytlumaczyc nie umiem. Po prostu tak to sie robi : o

soku11 · Post autor: **soku11** » 10 lut 2009, o 19:54

Tutaj mozna to wytlumaczyc ladniej.
W calce ogolnie masz jakas funkcje zmiennej x razy rozniczka po x (bardzo mala zmiana x).
Podstawiasz nowa zmienna:
\(\displaystyle{ t=\cos x\\}\)

Teraz chcesz zauwazyc jak sie zmienia x wzgledem t, by moc podstawic nowa rozniczke. Liczymy wiec pochodna t:
\(\displaystyle{ t'=-\sin x}\)

Jak wiadomo pochodna to nic innego jak rozniczka:
\(\displaystyle{ t'=\frac{\mbox{d}t}{\mbox{d}x}}\)

Czyli ogolnie daje nam to nieco inny zapis
\(\displaystyle{ \frac{\mbox{d}t}{\mbox{d}x}=-\sin x\\}\)

Teraz zauwazamy, ze zarowno dt jak i dx mozna traktowac jako zwykle wyrazenie, czyli obustronnie mnozymy przez dx:
\(\displaystyle{ \mbox{d}t=-\sin x\mbox{d}x}\)

I ostatecznie by moc zamienic rozniczke w calce na rozniczke dt trzeba przemnozyc stronami przez -1:
\(\displaystyle{ \sin x\mbox{d}x=-\mbox{d}t}\)

Teraz mozemy juz wstawic wszystko tak jak leci do calki

Pozdrawiam.

szak · Post autor: **szak** » 10 lut 2009, o 23:34

Wielkie dzieki, już wiem dla czego tak jest
Ja po prostu nie wiedzialem ze to trzeba obliczyc pochodna stronami.
Dzieki wam raz jeszcze.