objętość bryły obrotowej

chris_stargard · Post autor: **chris_stargard** » 9 lut 2009, o 16:28

Obliczyć objętość bryły powstałej z obrotu funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\sin x}\) dookoła osi x-ów w przedziale \(\displaystyle{ <0,\pi>}\)

Post autor: **Szemek** » 9 lut 2009, o 16:47

\(\displaystyle{ V=\pi \int_0^{\pi} [\sin x]^2 dx}\)

edit:
dzięki meninio

chris_stargard · Post autor: **chris_stargard** » 9 lut 2009, o 18:01

Po obliczeniu całki wyszło mi V=2/3, czy dobrze?

meninio · Post autor: **meninio** » 9 lut 2009, o 21:32

Szemek przed całką powinno byc jeszcze mnożenie przez \(\displaystyle{ \pi}\).

Powinno wyjść \(\displaystyle{ \frac{\pi^2}{2}}\).

chris_stargard · Post autor: **chris_stargard** » 9 lut 2009, o 22:09

mógłbym prosić o pokazanie sposobu wyliczenia tej całki? nie miałem jeszcze do czynienia z całkami oznaczonymi i próbowałem po prostu pierw obliczyć całkę nieoznaczoną, a potem zrobić różnicę z podstawiania wartości.

meninio · Post autor: **meninio** » 9 lut 2009, o 22:19

No sposób masz jak najbardziej prawidłowy.
Całkę obliczamy stosując jeden z podstawowych wzorów trygonometrycznych.

\(\displaystyle{ V=\pi \int_0^{\pi} [\sin x]^2 dx = \pi \int_0^{\pi} \frac{1-\cos 2x}{2}dx=\pi \left[\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\sin 2x \right]_0^{\pi}= \frac{\pi^2}{2}}\)