Obliczenie pola trójkąta. Ramiona są styczne do trójkąta.

[lycon5]

W trójkącie równoramiennym podstawa AB ma długość 8 cm. Promień okręgu, stycznego w punktach A i B do prostych zawierających ramiona AC i BC trójkąta, ma długość 5 cm. Oblicz pole trójkąta ABC.


Zupełnie nie mam pojęcia jak się do tego zabrać. Próbowałem podobieństwa trójkątów ale nie ma między nimi podobieństwa. Kombinowałem na różne sposoby. Nie lubię geometrii i nie widzę siebie pod tym względem dlatego postanowiłem się poradzić...

[wb]

AC=BC=b,
DO=x,
CD=h.

\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{5}{ \frac{1}{2} \cdot 8 }= \frac{h+x}{b} \\ h^2+4^2=b^2 \\ b^2+5^2=(h+x)^2 \end{cases} \\ \\ ... \\ \\ b= \frac{20}{3} \ \ , \ \ h= \frac{16}{3} \ \ , \ \ x=3}\)
i pole wtedy juz łatwo...

[lycon5]

Dzięki za rozwiązanie ale gubię się trochę w obliczeniach. Mógłbyś je przedstawić szczegółowo ?

[marcinn12]

\(\displaystyle{ 4(h+x)=5b}\)
\(\displaystyle{ h+x= \frac{5}{4}b}\)

Podstawiasz do ostatniego równania:

\(\displaystyle{ b^{2}+5^{2}=(h+x)^{2}}\)
\(\displaystyle{ b^{2}+5^{2}=(\frac{5}{4}b)^{2}}\)
\(\displaystyle{ 25= \frac{9}{16} b^{2} *// \frac{16}{9}}\)
\(\displaystyle{ b^{2}= \frac{400}{9}}\)
\(\displaystyle{ b= \frac{20}{3}}\)

Teraz h...

\(\displaystyle{ h^{2}+4^{2}=b^{2}}\)
\(\displaystyle{ h^{2}= \frac{400}{9} - \frac{144}{9}}\)
\(\displaystyle{ h= \frac{16}{3}}\)

Na koniec x...

\(\displaystyle{ 4( \frac{16}{3} +x)=5* \frac{20}{3} //* \frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{100}{12}- \frac{64}{12}}\)
\(\displaystyle{ x=3}\)