Stosunek długości środkowej trójkąta

[prosto.]

1.Długość jednej z przyprostokątnych trójkąta prostokątnego ABC o kącie prostym przy wierzchołku C jest równa a, a kąt leżący naprzeciwko niej ma miarę alpha. Oblicz stosunek długości środkowej trójkąta względem przeciwprostokątnej do wysokości tego trójkąta opuszczonej na przeciwprostokątną.

[Sherlock]

Kod: Zaznacz cały

http://odsiebie.com

Zauważ, że środkowa CD oraz odcinki (połowy przeciwprostokątnej) BD i AD są równe i wynoszą tyle ile promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym. Zatem policz przeciwprostokątną:
\(\displaystyle{ sin\alpha= \frac{a}{|AB|}}\)
\(\displaystyle{ |AB|= \frac{a}{sin\alpha}}\)
połowa |AB| to długość naszej środkowej CD

Teraz trzeba policzyć wysokość CE. Znamy już długość AB, pole trójkąta:
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} \cdot |CE| \cdot |AB|}\)
Pole trójkąta to także:
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} \cdot |BC| \cdot a}\)
wylicz |BC| np. z funkcji cosinus \(\displaystyle{ \alpha}\) a potem przyrównaj pola by wyliczyć wysokość CE. Na końcu pozostaje policzyć \(\displaystyle{ \frac{|CD|}{|CE|}}\)