równanie Eulera

[szalona całka]

błagam, niech mi ktoś wytłumaczy czemu równanie

\(\displaystyle{ (2t+1)^2y''-4(2t+1)y'+8y=-8t-4}\)

po podstawieniu Eulera \(\displaystyle{ 2t+1=e^s}\)

wygląda tak:

\(\displaystyle{ \frac{d^2y}{ds^2} - 3\frac{dy}{ds}+2y=-e^s}\)
bo jakoś nie mogę tego zobaczyć samodzielnie

[luka52]

Czyli mamy: \(\displaystyle{ s(t) = \ln (2t+1)}\)
Teraz wystarczy obliczyć pochodne \(\displaystyle{ \mbox d y/ \mbox d s}\) i \(\displaystyle{ \mbox d^2y/ \mbox ds^2}\)

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \frac{\mbox d y}{\mbox d t} = \frac{\mbox d y}{\mbox d s} \frac{\mbox d s}{\mbox d t} = \frac{\mbox d y}{\mbox d s} \cdot \frac{2}{2t+1}\\
\frac{\mbox d}{\mbox d t} \left( \frac{\mbox d y}{\mbox d t} \right) = \frac{\mbox d}{\mbox d t} \left( \frac{\mbox d y}{\mbox d s} \cdot \frac{2}{2t+1} \right) = \frac{2}{2t+1} \cdot \frac{\mbox d }{\mbox d t} \left( \frac{\mbox d y}{\mbox d s} \right) + \frac{\mbox d y}{\mbox d s} \left( \frac{2}{2t+1} \right)'\\
= \left( \frac{2}{2t+1}\right)^2 \cdot \frac{\mbox d^2 y}{\mbox d s^2} - \frac{\mbox d y}{\mbox d s} \frac{4}{(2t+1)^2} = \frac{4}{(2t+1)^2} \left( \frac{\mbox d^2 y}{\mbox d s^2} - \frac{\mbox d y}{\mbox d s} \right)}\)

Gdy wstawisz to z powrotem do równania, uprości się ono do:

\(\displaystyle{ 4\frac{\mbox d^2 y}{\mbox d s^2} - 12\frac{\mbox d y}{\mbox d s} + 8 y = -4e^s}\)