[Teoria liczb] teoria liczb IRAN

[matex_06]

Podzbiór zbioru liczb naturalnych nazywamy kwadratowym jeśli dla każdych dwóch elementów należących do tego podzbioru , ich iloczyn powiększony o 1 jest kwadratem pewnej liczby naturalnej.
Pokazać, że zbiór kwadratowy jest skończony. Znaleźć maksymalną możliwą liczbę elementów zbioru kwadratowego.

[silvaran]

napewno mogą być 2 elementy tego zbioru, a może być takich zbiorów nieskończenie wiele
zachodzi dla każdej pary liczb:
\(\displaystyle{ (n-1) \cdot (n+1) + 1 = n ^{2}}\)
czyli np:
\(\displaystyle{ 3 \cdot 5 + 1 = 16}\)
\(\displaystyle{ 4 ^{2} = 16}\)

\(\displaystyle{ 99 \cdot 101 + 1 = 10000}\)
\(\displaystyle{ 100 ^{2} = 10000}\)

3 elementowe też mogą byc, np \(\displaystyle{ 1}\), \(\displaystyle{ 3}\) oraz \(\displaystyle{ 8}\):
\(\displaystyle{ 1 \cdot 3 + 1 = 4}\) czyli \(\displaystyle{ 2 ^{2}}\)
\(\displaystyle{ 1 \cdot 8 + 1 = 9}\) czyli \(\displaystyle{ 3 ^{2}}\)
\(\displaystyle{ 3 \cdot 8 + 1 = 25}\) czyli \(\displaystyle{ 5 ^{2}}\)

[Rogal]

Iloczyn KAŻDYCH dwóch powiększony o jeden. Natomiast trójelementowy wyznaczyłeś raczej prawidłowo.

[silvaran]

nie rozumiem dlaczego się czepiasz? skoro KAŻDYCH dwóch, to w przypadku 2 elementowego są to akurat wszystkie. a to zbiór nie może byc 2 elementowy?

[Rogal]

A przepraszam, przeczytałem, że taki zbiór może być nieskończony.

[silvaran]

a co do 3 elementowych zbiorów, to także jest ich nieskończenie wiele
dla liczb \(\displaystyle{ n-1}\), \(\displaystyle{ n+1}\) oraz \(\displaystyle{ 4n}\)
\(\displaystyle{ (n-1) \cdot (n+1) +1=n^{2} \\
(n-1) \cdot 4n + 1=(2n-1)^{2} \\
(n+1) \cdot 4n + 1=(2n+1)^{2}}\)