równanie z parametrem

[mateusz200414]

witam!

zadanie było w dziale z analizą, więc zamieszczam tutaj

4. Dla jakich \(\displaystyle{ a \in R}\) równanie \(\displaystyle{ x^3-3x-a=0}\) ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste?

nie potrafię tego ruszyć
pozdrawiam

[meninio]

Aby wielomian trzeciego stopnia miał trzy różne pierwiastki, czyli oś OX przecina w trzech różnych punktach, musi posiadać dwa ekstrema. Maksimum o wartościach dodatnich oraz minimum o wartościach ujemnych - te dwa warunki gwarantują istnieje trzech różnych pierwiastków.

\(\displaystyle{ y=x^3-3x-a \Rightarrow y'=3x^2-3}\)

Liczymy ekstrema: \(\displaystyle{ 3x^2-3=0 \Leftrightarrow x=-1 \vee x=1}\)

Maksimum występuje dla \(\displaystyle{ x=-1}\) i wynosi \(\displaystyle{ y(-1)=(-1)^3-3*(-1)-a=2-a}\)

Minimum występuje dla \(\displaystyle{ x=1}\) i wynosi \(\displaystyle{ y(1)=1^3-3*1-a=-2-a}\)

A więc zgodnie z tym co napisałem na początku:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2-a>0 \\ -2-a<0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a<2 \\ a>-2 \end{cases}}\)

Więc równanie \(\displaystyle{ x^3-3x-a=0}\) ma trzy różne pierwiastki, gdy \(\displaystyle{ a \in (-2;2)}\).

[mateusz200414]

dziękuję, nie wpadłem na to, że musi być spełniony warunek dotyczący różnych znaków ekstremów ;/