zbieżność ciągu

[mateusz200414]

witam!

pierwszy problem jest taki, że nie wiem o co tu chodzi. drugi jest taki, że nie wiem jak to zrobić. pomożecie?

1. Korzystając z twierdzenia o ciągu monotonicznym i ograniczonym pokaż, że ciąg \(\displaystyle{ a_n= \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k}}\) jest zbieżny.

pozdrawiam

[miodzio1988]

wie kolega co to znaczy ze ciag jest monotoniczny? albo chociaz ograniczony?
zadanie naprawde nie jest trudne(pokazac do czego ten ciag jest zbiezny jest o wiele trudniej). Sprobuje cos kolega sam wymyslic?

[mateusz200414]

napisałem przecież, że nie wiem o co chodzi powiem co mnie tutaj straszy: po pierwsze 'twierdzenie o...', po drugie zapis sumy (nie umiem go oczytać).
żeby wykazać, że jest monotoniczny wystarczyłoby policzyć różnicę sąsiadujących wyrazów (jak je znaleźć?), co do ograniczenia to nie wiem

[miodzio1988]

twierdzenie chociaz kolega zna? symbolu sumy tez nie?? Nie dziwie sie ze zadanie jest dla kolegi awykonalne. Oddaje paleczke komus innemu bo ja nie mam sily rozmawiac z ludzmi na tematy o ktorych oni pojecia nie mają. Pozdrawiam.

[mateusz200414]

dlatego zwracam się tutaj z prośbą o pomoc, bo tego nie umiem...

[sigma_algebra1]

Oj, pozwole sobie przechwycic paleczke, Miodku

Otóż symbol sumy \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}}\)mowi dokładnie o tym że masz zsumować n ulamków postaci \(\displaystyle{ \frac{1}{n+k}}\), gdzie pod k masz podstawic kolej no liczby od 1 do n.

Dalej sąsiadujace wyrazy to sensownie \(\displaystyle{ a_n}\) i \(\displaystyle{ a_{n+1}}\), czyli w pierwszym przypadku masz sume n ułamkow gdzie k przebiega od 1 do n, a w drugim sumę n+1 ulamków, gdzie k przebiega od 1 do n+1. Zauważ że n+(k+1) = (n+1)+k więc ładnie Ci się te ułamki poodejmują.

To kwestia monotoniczności.

Dalej ograniczoość, no jak juz ustalisz kierunek monotonicznosci to ograniczenie z gory lub z dolu bedzies zmiec od razu, choc np widac tez ze \(\displaystyle{ a_n \ge 0}\), z drugiej strony
przy wzroście k dodawane ulamki w sumie sa coraz mniejsze bo k jest w mianowniku, więc mozna napisac oszacowanie
\(\displaystyle{ a_n= \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k} \le \frac{n}{n+1}}\), a poniewaz to dazy do 1 (co ja gadam to nawet jest mniejsze niz jeden ) no to ciag jest ograniczony z gory , no a tweirdzenie o mowi o tym ze jak wykazesz ze ciag jest monotoniczny i ograniczony to juz wiesz ze jest zbiezny.

[mateusz200414]

dziękuję ślicznie!