równanie II rzędu, metoda przewidywań

kamil1985 · Post autor: **kamil1985** » 4 lut 2009, o 17:48

mam takie równanie:
\(\displaystyle{ y''-y'-6y=48cosx}\)
rozwiązanie ogólne ma postać:
\(\displaystyle{ y=C _{1}e ^{-2x} +C _{2}e ^{3x}}\)
niewiem jednak jak znaleźć całkę szczególną tego równania

Post autor: **luka52** » 4 lut 2009, o 21:39

Przewiduj całkę szczególną postaci \(\displaystyle{ y = A \sin x + B \cos x}\).

kamil1985 · Post autor: **kamil1985** » 4 lut 2009, o 22:46

mógł bym prosić o kawałek rozwiązania, chociaż początek jak to ma wyglądać?
czy to może będzie coś takiego:
\(\displaystyle{ y=(ax+b)cosx+(cx+d)sinx}\)

Post autor: **luka52** » 4 lut 2009, o 22:52

kamil1985 pisze:mógł bym prosić o kawałek rozwiązania, chociaż początek jak to ma wyglądać?

Pierwszy lepszy podręcznik lub skrypt - szukaj pod "metoda przewidywania".

kamil1985 pisze:czy to może będzie coś takiego:
\(\displaystyle{ y=(ax+b)cosx+(cx+d)sinx}\)

Nie wiem jaki jest sens odpowiadania Ci, skoro nie czytasz tego co napisałem w poprzednim poście .

kamil1985 · Post autor: **kamil1985** » 4 lut 2009, o 23:14

jak bym posiadał jakiś podręcznik to bym się o to nie pytał, nigdy wcześniej niemiałem z tym do czynienia i niewiem jak to sie oblicza, znalazłem gdzieś przykład gdzie właśnie od takiego równania wyliczało się całkę szczególną więc zapytałem.
Ten zapis który mi podałeś nic mi niemówi i niewiem co mam dalej z nim zrobić...
jeżeli możesz to powiedz mi co powinienem dalej wyliczać... z góry dziękuje!

Post autor: **luka52** » 4 lut 2009, o 23:21

Podstaw \(\displaystyle{ y = A \sin x + B \cos x}\) do równania (tak, do tego równania - \(\displaystyle{ y'' - y' - 6y = 48 \cos x}\)) i wyznacz konkretne wartości liczbowe stałych \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\). W ten sposób znajdziesz całkę szczególną.

chatkapuchatka · Post autor: **chatkapuchatka** » 7 lut 2009, o 10:18

Wiesz, już ze równanie szczególne niejednorodnego będzie tej postaci:\(\displaystyle{ y = A \sin x + B \cos x}\). By w równaniu (\(\displaystyle{ y'' - y' - 6y = 48 \cos x}\)) wyznaczyć \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) musisz policzyć
\(\displaystyle{ y' = A \sin x + B \cos x}\)
oraz
\(\displaystyle{ y'' = A \sin x + B \cos x}\)
Jeśli nie wiesz jak policzyć pochodną z y' to podpowiadam:
\(\displaystyle{ y' = A \sin x + B \cos x = (A \sin x)' + (B \cos x)' = A \cos x - B \sin x}\)
By liczyć drugą pochodną liczysz pochodną z wyniku, który wyszedł Ci z pierwszej pochodnej, tzn.:
\(\displaystyle{ y'' = (A \cos x)' - (B \sin x)' = - A \sin x - B \cos x}\)
Jeśli masz tablice matematycznej to otwórz je na stronie 33 by zrozumieć jak je wyliczyłam.
Wiec Twoje równanie szczególne niejednorodnego wygląda tak:
\(\displaystyle{ (- A \sin x - B \cos x) - (A \cos x - B \sin x) - 6(A \sin x + B \cos x) = 48 \cos x}\)
\(\displaystyle{ - A \sin x - B \cos x - A \cos x + B \sin x - 6A \sin x - 6B \cos x = 48 \cos x}\)
\(\displaystyle{ - 7A \sin x - 7A \cos x - 7B \cos x + B \sin x = 48 \cos x}\)
A teraz nie jestem pewna ale chyba to się robi tak (przyrównujesz stałe po lewej stronie z liczbami po prawej stronie równania stojące przy \sin x i \cos x :
-7A + B = 0
-7A - 7B = 48
ale to się zeruje co znaczyłoby, że to równanie nie ma równania szczególne niejednorodnego, więc w związku z tym, że
\(\displaystyle{ YON(x) = YOJ(x) + YSN(x)}\)
\(\displaystyle{ YON(x)}\) - równanie ogólnie niejednorodnego
\(\displaystyle{ YOJ(x)}\) - równanie ogólne jednorodnego
\(\displaystyle{ YSN(x)}\)- równanie szczególne niejednorodnego
zatem w Twoim przypadku:
\(\displaystyle{ YON(x) = YOJ(x)}\)
Rozumiem, że wiesz jak obliczyć YOJ(x)? Bo to jest jakby pierwszy etap rozwiązywania tego typu równań. Jak nie to daj znać.

speedy1 · Post autor: **speedy1** » 8 lut 2009, o 11:41

-7A + B = 0
-7A - 7B = 48

czemu nie ma rozwiazania ? jak odejmiesz str to masz -8b = 48 => b = -6

-7a -6 = 0 => a = -6/7 czyli ys = 6/7cosx -6sinx

a y = ys + yoj = 6/7cosx -6six + rozwiazanie z 1 postu jezeli jest dobrze wyliczone

ps; chyba

chatkapuchatka · Post autor: **chatkapuchatka** » 8 lut 2009, o 13:22

Racja, błąd rachunkowy, z tym że B=6 a nie -6
Wiec A=6/7
No i wszystko jasne

kamil1985 · Post autor: **kamil1985** » 17 lut 2009, o 15:04

Tutaj jest mały błąd:

chatkapuchatka pisze: \(\displaystyle{ (- A \sin x - B \cos x) - (A \cos x - B \sin x) - 6(A \sin x + B \cos x) = 48 \cos x}\)
\(\displaystyle{ - A \sin x - B \cos x - A \cos x + B \sin x - 6A \sin x - 6B \cos x = 48 \cos x}\)
\(\displaystyle{ - 7A \sin x - 7A \cos x - 7B \cos x + B \sin x = 48 \cos x}\)

Powinno być:
\(\displaystyle{ - 7A \sin x - A \cos x - 7B \cos x + B \sin x = 48 \cos x}\)

Dziękuje wszystkim już wiem o co w tym chodzi

Chociaż mam jeszcze pytanie, mam coś takiego:
\(\displaystyle{ y"+4y=e ^{-x}}\)
Równanie ogólne będzie miało postać:
\(\displaystyle{ y_0=C_1cos2x+C_2sin2x}\)

Stosując metodę przewidywań rozwiązanie szczególne przewidujemy w postaci:
\(\displaystyle{ y_1=Q_n(x)e^{kx}}\)
ponieważ liczba k nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego.

Stąd przewidujemy takie równanie:
\(\displaystyle{ y_1=Ae^{-x}}\)
zgadza się?
troche niejasności wprowadziły mi do głowy rozwiązania zadań, które widziałem..