Całka podwójna (x+2y)

chatkapuchatka · Post autor: **chatkapuchatka** » 5 lut 2009, o 18:40

Proszę o pomoc:
\(\displaystyle{ \iint_{D} (x+2y) dx dy =}\)
\(\displaystyle{ D:\begin{cases} y=x^{2}\\y=-2x\end{cases}}\)

msx100 · Post autor: **msx100** » 5 lut 2009, o 18:48

\(\displaystyle{ = \int_{-2}^0 dx \int_{x^2}^{-2x} (x+2y) dy}\)

meninio · Post autor: **meninio** » 5 lut 2009, o 18:49

\(\displaystyle{ \int_{-2}^{0}dx \int_{x^2}^{-2x}(x+2y)dy=...}\)

chatkapuchatka · Post autor: **chatkapuchatka** » 5 lut 2009, o 20:09

a co dalej? bo nie wiem jak sie tego typu całki rozwiązuje.

meninio · Post autor: **meninio** » 5 lut 2009, o 21:01

\(\displaystyle{ \int_{-2}^{0}dx \int_{x^2}^{-2x}(x+2y)dy=\int_{-2}^{0}dx \left[ xy+y^2 \right]_{x^2}^{-2x}=\int_{-2}^{0}dx \left(-2x^2+4x^2-x^3-x^4 \right) = \\ \\ = \int_{-2}^{0} \left(-x^4-x^3+2x^2 \right) dx= \left[-\frac{1}{5}x^5-\frac{1}{4}x^4+\frac{2}{3}x^3 \right]_{-2}^{0}=0- \left(\frac{32}{5}-4-\frac{16}{3} \right)= \\ \\ = \frac{44}{15}}\)

chatkapuchatka · Post autor: **chatkapuchatka** » 6 lut 2009, o 23:20

Powiedz jak z \(\displaystyle{ \int_{-2}^{0}dx \int_{x^2}^{-2x}(x+2y)dy=}\) wyszło Ci to: \(\displaystyle{ \int_{-2}^{0}dx \left[ xy+y^2 \right]_{x^2}^{-2x}=}\) ???

Post autor: **M Ciesielski** » 6 lut 2009, o 23:47

to co w nawiasie całkujesz względem zmiennej y (mamy przecież wyraźne \(\displaystyle{ \mbox{d}y}\)), x traktujemy jako stałą, więc
\(\displaystyle{ \int(x+2y)\mbox{d}y = xy + 2\cdot\frac{1}{2}y^2 = xy + y^2}\)

następnie podstawiamy granice całkowania (za zmienną y) i całkujemy to co wyszło względem zmiennej x (gdzie x jest teraz traktowane jako zmienna)

chatkapuchatka · Post autor: **chatkapuchatka** » 7 lut 2009, o 09:45

Dzięki -- 7 lut 2009, o 12:06 --Mam też pytanie jak wyznaczyłeś te przedziały?