największy współczynnik rozwinięcia dwumianu

[noob]

treść zadania:
Wyznacz największy współczynnik rozwinięcia dwumianu (2x+\(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\)y)\(\displaystyle{ ^{50}}\)
proszę o pomoc w rozwiązaniu tego zadania i najlepiej łopatologiczne wyjaśnienie

[tommik]

Tutaj to trzeba by zastosować trójkąt Pascala.

[Tristan]

Zauważ, z trójkąta pascala, że jeśli podniesiesz jakieś wyrażenie np.a+b do potęgi n, to wymnażając wszystko otrzymasz n+1 składników. Ponieważ podosisz do poteęgi 50-tej, to będziesz miał 51 składników, z czego największy współczynnik będzie dla 26 wyrazu. Teraz korzystasz z wzoru dwumianowego Newtona. Podstawiasz pod \(\displaystyle{ {n\choose k}a^{n-k} b^k}\) liczby z Twojego wyrażenia i otrzymujesz to co chciałeś...
Jeśli gdzieś się kopnąłem to poprawcie, bo nie jestem pewien czy dobrze myślę:)

[Rogal]

Eeee, jak na moje oko, to największy wspólczynnik będzie wtedy, gdy 2 będzie w jak najwyższej potędze, a 1/4 w jak najniższej. Czyli wychodziłby pierwszy wyraz, więc byłoby to \(\displaystyle{ 2^{50}}\), ale nie daje głowy za to .

[noob]

pokaże wam co jest napisane w odpowiedziach do tego zadania, i właśnie tam nie wiem jak im wyszło 5 i 5/9 oraz 4 i 2/3 :
3.95. Rozważmy współczynniki kolejnych wyrazów rozwinięcia tego dwumianu, to jest liczby:

\(\displaystyle{ {50\choose k-1}2^{50-(k-1)} *2^{-2(k-1)}={50\choose k-1}2^{53-3k}}\)

\(\displaystyle{ {50\choose k}2^{50-k} *2^{-2k}={50\choose k}2^{50-3k}}\)

\(\displaystyle{ {50\choose k+1}2^{50-(k+1)} *2^{-2(k+1)}={50\choose k+1}2^{47-3k}}\)

W myśl warunków zadania
\(\displaystyle{ {50\choose k}2^{50-3k} > {50\choose k-1}2^{53-3k}}\) i \(\displaystyle{ {50\choose k}2^{50-3k} > {50\choose k+1}2^{47-3k}}\)

stąd \(\displaystyle{ k4 \frac{2}{3}}\), a więc k=5

Szukany współczynnik to \(\displaystyle{ {50\choose 5}2^{35}}\)



i właśnie nie mam pojęcia jak wyszło \(\displaystyle{ k4 \frac{2}{3}}\)
mógłyby mi to ktoś wytłumaczyć?? plz

[Tristan]

Przeczytałem to kilka razy i chyba rozumiem o co im chodzi:)

Wiemy, że jest to 50 wiersz, tak? czyli n=50. I własnie problem polega na tym ,że nie mamy pojęcia który współczynnik będzie tym największym i tak naprawdę nie znamy k. Z dwumianu Newtona podstawiamy sobie, za n=50, za a=2 a za b podstawiamy \(\displaystyle{ \frac{1}{4}=2^{-2}}\). Wzór jest następujący : \(\displaystyle{ {n\choose k}a^{n-k}b^k}\) a podstawiając nasze dany otrzymujemy właśnie \(\displaystyle{ {50\choose k}2^{50-k}2^{-2k}={50\choose k}2^{50-3k}}\). Po prostu tutaj sobie podstawiasz a później sumujesz potęgi, bo w podstawie masz 2. Mam nadzieję, że to tej pory wszystko jasne. Teraz zamiast k, podstawiasz do wzoru k-1, również wymażasz i dodajesz potęgi i otrzymujesz twoją pierwszą linijkę, którą napisałeś:). Dla k+1 robisz to samo, i masz to zapisane w 3 linijce Twoich obliczeń, w Twoim poście:). Teraz oczywiste są nierównośći, że wzór z k, jest większy od wzoru z k-1, oraz, że wzór z k+1 jest większy od k. I to właśnie zapisałem w 4 linijce:) (Piszę oczywiście o Twoim drugim poście, w którym podajesz to rozwiązanie książkowe). Teraz rozwiązujesz te dwie nierówności. Rozwiąże dla przykładu pierwszą z nich
\(\displaystyle{ {50\choose k}2^{50-3k}>{50\choose k-1}2^{53-3k} \\ \frac{50!}{k!(50-k)!}\frac{2^{50}}{2^{3k}}>\frac{50!}{(k-1)!(50-k+1)!}\frac{2^{50}\cdot2^3}{2^{3k}}}\) Tutaj właśnie rozpisuję wszystko, liczę, że widać. Teraz skracamy przez \(\displaystyle{ 50!}\), mnożymy obustronnie przez \(\displaystyle{ 2^{3k}}\), oraz skracamy przez \(\displaystyle{ 2^{50}}\). Teraz rozpisuję \(\displaystyle{ k!=(k-1)!k}\) oraz \(\displaystyle{ (50-k+1)!=(50-k)!(51-k)}\) i podstawiam, dzięki czemu otrzymujemy \(\displaystyle{ \frac{1}{(k-1)!k(50-k)!}>\frac{8}{(k-1)!(50-k)!(51-k)}}\). Teraz wymnażam przez \(\displaystyle{ (k-1)!(50-k)!}\) i otrzymujemy
\(\displaystyle{ \frac{1}{k}>\frac{8}{51-k} \\51-k>8k \\-9k>-51\\k}\)