Całka niewłaściwa
-
Młody fryta
- Użytkownik
- Posty: 19
- Rejestracja: 14 wrz 2004, o 17:11
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Pomógł: 1 raz
Całka niewłaściwa
Najpierw całka nieoznaczona:
\(\displaystyle{ I=\int e^{-\frac{x}{2}} dx}\)
Powyższą całkę liczymy przez podstawienie: \(\displaystyle{ t= -x/2}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ dt= -1/2 dx}\), czyli \(\displaystyle{ dx= -2 dt}\)
\(\displaystyle{ I= -2 \int e^{t} dt= -2 e^{t} = -2 e^{-\frac{x}{2}}}\)
Teraz całka oznaczona niewłaściwa:
\(\displaystyle{ J=\int_{1}^{\infty} e^{-\frac{x}{2}} dx= \lim_{\beta \rightarrow \infty} \int_{1}^{\beta} e^{-\frac{x}{2}} dx= -2 \lim_{\beta \rightarrow \infty} \left(\frac{1}{e^{\beta/2}} - e^{-1/2}\right)}\)
\(\displaystyle{ J= -2 (0 - e^{-1/2}) = \frac{2}{\sqrt{e}}}\)
\(\displaystyle{ I=\int e^{-\frac{x}{2}} dx}\)
Powyższą całkę liczymy przez podstawienie: \(\displaystyle{ t= -x/2}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ dt= -1/2 dx}\), czyli \(\displaystyle{ dx= -2 dt}\)
\(\displaystyle{ I= -2 \int e^{t} dt= -2 e^{t} = -2 e^{-\frac{x}{2}}}\)
Teraz całka oznaczona niewłaściwa:
\(\displaystyle{ J=\int_{1}^{\infty} e^{-\frac{x}{2}} dx= \lim_{\beta \rightarrow \infty} \int_{1}^{\beta} e^{-\frac{x}{2}} dx= -2 \lim_{\beta \rightarrow \infty} \left(\frac{1}{e^{\beta/2}} - e^{-1/2}\right)}\)
\(\displaystyle{ J= -2 (0 - e^{-1/2}) = \frac{2}{\sqrt{e}}}\)