objętość

[zizu_56]

Obliczyć objętość bryły V ograniczonej powierzchnią powstałą przez obrót wokół osi Ox krzywej \(\displaystyle{ y= \sqrt{xsinx}}\),\(\displaystyle{ gdzie x \in \left[ 0, \frac{\pi}{2} \right]}\)

[Młody fryta]

\(\displaystyle{ V= \pi \int_{a}^{b} [y(x)]^2 dx= \pi \int_{0}^{\pi/2} x \sin{x} dx}\)

\(\displaystyle{ I= \int x \sin{x} dx = uv- \int v du}\) ,
gdzie:
\(\displaystyle{ u= x, \qquad du= dx}\)
\(\displaystyle{ dv= \sin{x} dx, \qquad v= -\cos{x}}\)

Stąd:
\(\displaystyle{ I= -x \cos{x} - \int (-\cos{x}) dx= -x \cos{x} + \sin{x}}\)

Podstawiając do wzoru na objętość:
\(\displaystyle{ V= \pi [-x \cos{x} + \sin{x}]_{0}^{\pi/2} = \pi [0 + 1]= \pi}\)