oblicz granicę

[rymoholiko]

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} \sqrt[n]{\frac{4 ^{n} +2 ^{n} }{6 ^{n} +3 ^{n} } }}\)

[raphel]

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} \sqrt[n]{\frac{4 ^{n} +2 ^{n} }{6 ^{n} +3 ^{n} } }}\)

z trzech ciągów można:
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{ \frac{4 ^{n}}{6 ^{n} +6 ^{n} } } \le a _{n} \le \sqrt[n]{\frac{4 ^{n} +4 ^{n} }{6 ^{n} }}}\)

czyli dąży do \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\)

[lorakesz]

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} \sqrt[n]{\frac{4^n +2^n }{6^n +3^n } }=\lim_{ n\to \infty} \sqrt[n]{(\frac{2}{3})^n\frac{2^n +1 }{2^n +1 } }=\lim_{ n\to \infty} \sqrt[n]{(\frac{2}{3})^n}=\frac{2}{3}}\)