\(\displaystyle{ \lim_{x \to\ 0 } \frac{\int_{0}^{x ^{2}} (ln(cost)/t ^{2} )dt}{ x^{2}}}\)
nie wiem jak ruszyć górę tego ułamka pomoże kto?
Granica z całką
Granica z całką
Ostatnio zmieniony 7 lut 2009, o 20:33 przez luka52, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Staraj się lepiej dobierać nazwy tematów, tak by lepiej wskazywały o czym może być treść zadania.
Powód: Staraj się lepiej dobierać nazwy tematów, tak by lepiej wskazywały o czym może być treść zadania.
-
lorakesz
- Użytkownik
- Posty: 669
- Rejestracja: 25 mar 2008, o 15:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wysokie Mazowieckie
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 198 razy
Granica z całką
EDIT Wersja Poprawiona:
(cos(x))/(t^2)
Wynik dość dziwny, więc czy to nie trzeba przypadkiem zrobić tak?
\(\displaystyle{ \lim_{x \to\ 0 } \frac{\int_{0}^{x ^{2}} \frac{\ln(\cos t)}{t^2}dt}{ x^{2}} \stackrel{[H]}{=} \lim_{x \to\ 0 } \frac{ \frac{\ln(\cos x^2)}{x^4} \cdot 2x}{ 2x}=\lim_{x \to\ 0 } \frac{\ln(\cos x^2)}{x^4}=...=-\frac{1}{2}}\)
Warto żeby ktoś jeszcze się wypowiedział bo sam jestem ciekaw.
(cos(x))/(t^2)
Wynik dość dziwny, więc czy to nie trzeba przypadkiem zrobić tak?
\(\displaystyle{ \lim_{x \to\ 0 } \frac{\int_{0}^{x ^{2}} \frac{\ln(\cos t)}{t^2}dt}{ x^{2}} \stackrel{[H]}{=} \lim_{x \to\ 0 } \frac{ \frac{\ln(\cos x^2)}{x^4} \cdot 2x}{ 2x}=\lim_{x \to\ 0 } \frac{\ln(\cos x^2)}{x^4}=...=-\frac{1}{2}}\)
Warto żeby ktoś jeszcze się wypowiedział bo sam jestem ciekaw.
Ostatnio zmieniony 7 lut 2009, o 21:32 przez lorakesz, łącznie zmieniany 1 raz.
-
bosa_Nike
- Użytkownik
- Posty: 1677
- Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 464 razy
Granica z całką
Całka wydaje się nieelementarna. Można by rozwinąć wyrażenie pod całką w szereg Taylora, całkować wyraz po wyrazie. Wyraz najniższego stopnia po scałkowaniu w podanych granicach to \(\displaystyle{ \frac{-x^2}{2}}\), więc granica całości w zerze będzie równa \(\displaystyle{ \frac{-1}{2}}\).
Według mnie...
Według mnie...
-
lorakesz
- Użytkownik
- Posty: 669
- Rejestracja: 25 mar 2008, o 15:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wysokie Mazowieckie
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 198 razy
Granica z całką
Nie twierdzę, że to jest dobrze. Sam jestem ciekaw i czekam aż ktoś napisze jak to zrobić.Giewond pisze:lorakesz napewno nie tak... jak juz to pierwsze musisz calke policzyc...
-
Maciej87
- Użytkownik
- Posty: 377
- Rejestracja: 26 sty 2009, o 09:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 46 razy
Granica z całką
Albo bezpośrednio z twierdzenia o wartości średniej dla przedziału \(\displaystyle{ \left[0,x^2\right]}\).
Ta granica jest równa po prostu granicy
\(\displaystyle{ \lim\limits_{t \to 0} {\frac {\ln \left( \cos \left( t \right) \right) }{{t}^{2}}}}\), a to jest \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}}\), jak już napisał bosa-Nike.
Rozwiązanie z regułą szpitala, liczone przez lorakesza chyba też jest ok,
tylko w mianowniku coś się zgubiło, bo podstawiamy \(\displaystyle{ t^2 = x^4}\). Granica jest wtedy \(\displaystyle{ \lim {\frac {\ln \left( \cos \left( {x}^{2} \right) \right) }{{x}^{4}}}=\frac{-1}{2}}\).
Całki nie trzeba liczyć, korzystamy z ciągłości funkcji podcałkowej, istnienia i różniczkowalności pierwotnej \(\displaystyle{ G(t)}\) i różniczkujemy funkcję \(\displaystyle{ G\left(x^2\right)}\).
Ta granica jest równa po prostu granicy
\(\displaystyle{ \lim\limits_{t \to 0} {\frac {\ln \left( \cos \left( t \right) \right) }{{t}^{2}}}}\), a to jest \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}}\), jak już napisał bosa-Nike.
Rozwiązanie z regułą szpitala, liczone przez lorakesza chyba też jest ok,
tylko w mianowniku coś się zgubiło, bo podstawiamy \(\displaystyle{ t^2 = x^4}\). Granica jest wtedy \(\displaystyle{ \lim {\frac {\ln \left( \cos \left( {x}^{2} \right) \right) }{{x}^{4}}}=\frac{-1}{2}}\).
Całki nie trzeba liczyć, korzystamy z ciągłości funkcji podcałkowej, istnienia i różniczkowalności pierwotnej \(\displaystyle{ G(t)}\) i różniczkujemy funkcję \(\displaystyle{ G\left(x^2\right)}\).