równanie różniczkowe I-go rzędu

[Mapedd]

Witam , mam problem z takimi rownaniami, prosze o pomoc:

a) \(\displaystyle{ y'+y \cdot \tg x = \sin 2x}\)

b) \(\displaystyle{ (1+x^2)\cdot y' + y =\arctan x}\)

c) \(\displaystyle{ (x+1) \cdot y' -2y - (x+1)^3 =0}\)

[elowata]

Skorzystaj z metody czynnika całkującego

[rymoholiko]

elowata a mogla bys napisac jak by to wygladalo po uzyciu tego kryterium?

[elowata]

np. a)
\(\displaystyle{ y'+y tgx = sin2x \ \ / \cdot e^{ \int_{}^{} tgxdx}}\)

\(\displaystyle{ \left(y \cdot e^{ \int_{}^{} tgxdx} \right)' = sin2x \cdot e^{ \int_{}^{} tgxdx} \ \ / \int_{}^{}}\)

\(\displaystyle{ y \cdot e^{ \int_{}^{} tgxdx} = \int_{}^{} \left( sin2x \cdot e^{ \int_{}^{} tgxdx}\right)dx}\)

\(\displaystyle{ y = \int_{}^{} \left( sin2x \cdot e^{ \int_{}^{} tgxdx}\right)dx \cdot e^{ - \int_{}^{} tgxdx}}\)

Zredukuj sobie prawą stronę i masz rozwiązanie
Ogólnie - metoda czynnika całkującego:

\(\displaystyle{ f'(x) + g(x) \cdot f(x) = h(x) \ \ / \cdot e^{ \int_{}^{} g(x)dx}}\)

\(\displaystyle{ \left(e^{ \int_{}^{} g(x)dx} \cdot f(x) \right)' = h(x) \cdot e^{ \int_{}^{} g(x)dx}}\)

A dalej to już wiadomo

[meninio]

a)

Najpierw równanie jednorodne:

\(\displaystyle{ y'+y\tan x=0 \Rightarrow \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }=-y\tan x \Rightarrow \frac{ \mbox{d}y}{ y }=-\tan x \mbox{d}x \Rightarrow \ln|y|=\ln |\cos x| +c \\ \\ y=C\cos x}\)

Uzmienniamy stałą i liczymy pochodną:

\(\displaystyle{ y=C(x)\cos x \Rightarrow y'=C'(x)\cos(x)-C(x)\sin x}\)

I wstawiamy do równania niejednorodnego:

\(\displaystyle{ C'(x) \cos(x)-C(x)\sin x+C(x)\cos x \tan x=\sin 2x \\ \\ C'(x)=\frac{\sin 2x}{\cos x} \\ \\ C(x)=\int \frac{\sin 2x}{\cos x} \mbox{d}x = \int \frac{2\sin x \cos x}{\cos x} \mbox{d}x = \int 2 \sin x \mbox{d}x =-2\cos x+C}\)

Wstawiamy do rozwiązania ogólnego:

\(\displaystyle{ y= \left(-2\cos x+C \right) \cos x = -2\cos^2 x+C\cos x}\)