wyznaczyć częstość drgań swobodnych

[koooala]

dla układu jak na rysunku wyznacz częstość drgań swobodnych zakładając małe wychylenia z położenia równowagi oraz zaniedbując tarcie. Układ porusza się w płaszczyźnie pionowej. (Dane liczbowe na rysunku)

[Dargi]

Znajdźmy środek ciężkości układu.
\(\displaystyle{ (m_1+m_2)x_{sm}=-\frac{2}{3}m_1b+\frac{1}{3}m_1b-m_2b}\)
Więc dostajemy po krótce że \(\displaystyle{ x_{sm}=-b\frac{m_1+3m_2}{3(m_1+m_2)}}\)
Umieściłem układ odniesienia w chwilowej osi obrotu.

Współrzędne \(\displaystyle{ x, y}\) przybiorą postać:
\(\displaystyle{ x=x_{sm}sin\alpha\\ y=x_{sm}cos\alpha}\)
Tak więc możemy śmiało napisać że
\(\displaystyle{ \dot{x}=x_{sm}cos\alpha\dot{\alpha}\\\dot{y}=-x_{sm}sin\alpha\dot{\alpha}}\)

Tak więc energia potencjalna po wychyleniu o kąt mały \(\displaystyle{ \alpha}\) wynosi:
\(\displaystyle{ V=mgx_{sm}cos\alpha+\frac{c(btg\alpha)^2}{2}=mgx_{sm}(1-\frac{\alpha^2}{2})+\frac{1}{2}cb^2 (\frac{\alpha}{1-\frac{\alpha^2}{2}})^2}\)
Skorzystałem z przybliżeń bo \(\displaystyle{ sin\alpha \approx \alpha , cos\alpha=1-\frac{\alpha^2}{2}}\)
dla małych kątów \(\displaystyle{ \alpha}\)
\(\displaystyle{ E_k=\frac{(m_1+m_2)(\dot{x}^2+\dot{y}^2)}{2}=\frac{x_{sm}^2\dot{\alpha}^2(m_1+m_2)}{2}}\)

Wiedząc że \(\displaystyle{ V+E_k=const}\) bo mamy brak sił dyssypatywnych to pozwala nam aby równanie to zapisać tak:
\(\displaystyle{ (V+E_k)'=0}\)

I teraz w ładny sposób dostaniesz równanie oscylatora harmonicznego i stąd łatwo wyznaczyć \(\displaystyle{ T}\)

[koooala]

mógłbyś napisać wzory na powiązanie \(\displaystyle{ T}\) z równaniem oscylatora harmonicznego (doprowadzić zadanie to postaci \(\displaystyle{ T=....}\)?

z góry THX.

[Dargi]

koooala zacznę od tego że można przybliżyć \(\displaystyle{ tg\alpha}\) do \(\displaystyle{ sin\alpha}\)
Tak więc jak widać potencjał będzie miał inny wzór bo \(\displaystyle{ \frac{\alpha^2}{2}}\) jest bardzo małe tak więc:
\(\displaystyle{ V=mgx_{sm}-mgx_{sm}\frac{\alpha^2}{2}+\frac{1}{2}cb^2\alpha^2}\)

Energia kinetyczna zostaje tak jak jest:
\(\displaystyle{ E_k=\frac{x_{sm}^2\dot{\alpha^2}(m_1+m_2)}{2}}\)

Suma tych energii to nic innego jak:
\(\displaystyle{ E_k+V=const\\ \frac{x_{sm}^2\dot{\alpha^2}(m_1+m_2)}{2}+mgx_{sm}-mgx_{sm}\frac{\alpha^2}{2}+\frac{1}{2}cb^2\alpha^2=const}\)
Obustronnie dajemy pochodną by otrzymać równanie:
\(\displaystyle{ x_{sm}^2(m_1+m_2)\dot{\alpha}\ddot{\alpha}-mgx_{sm}\alpha\dot{\alpha}+cb^2\alpha\dot{\alpha}=0}\)

Dostajemy że \(\displaystyle{ x_{sm}^2(m_1+m_2)\ddot{\alpha}+(cb^2-mgx_{sm})\alpha=0}\)

Sprowadzamy to równanie do postaci oscylatora harmonicznego ( które wygląda tak:\(\displaystyle{ \ddot{\alpha}+\omega^2\alpha=0}\))

\(\displaystyle{ \ddot{\alpha}+\frac{(cb^2-mgx_{sm})}{x_{sm}^2(m_1+m_2)}\alpha=0}\)

Dostajemy więc że \(\displaystyle{ \omega^2=\frac{(cb^2-mgx_{sm})}{x_{sm}^2(m_1+m_2)}=}\)

Podstawiając do tego że:\(\displaystyle{ x_{sm}=-b\frac{m_1+3m_2}{3(m_1+m_2)}}\) łatwo już wyliczysz szukaną częstośc
aaa i jeszcze jedno \(\displaystyle{ m=m_1+m_2}\)

śmiało można napisać że: \(\displaystyle{ \omega^2=\frac{cb^2}{x_{sm}^2(m_1+m_2)}-\frac{g}{x_{sm}}}\)