oblicz granicę krysicki 12.55

[rymoholiko]

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0^{+} } \left( \frac{1}{x} \right)^{sinx}}\)
Przeskoczylem w epsilon z calym tym syfem u gory. Potem jakos przerobilem w ulamek zamieniajac sinx w cosx....jednak dalej brne w hospitala i kicha Wynik ma byc 1. Ksiazka mowi "wyznaczyc granice za pomoca rozwiniecia w szeregi).
Nie mam pomyslu :/

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0^{+} } \left( \frac{1}{x} \right)^{sinx}=\lim_{ x\to 0^{+} } e^{sinx ln \frac{1}{x} }}\) a tak kolega probowal??
wychodzi bardzo ladnie;]

[rymoholiko]

Przeskoczylem w epsilon z calym tym syfem u gory.

Tak

[miodzio1988]

i koledze nie wyszlo?? pokaze kolega swoje rozwiazanie. Mi po pierwszym kroku juz wyszlo;]

[rymoholiko]

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0^{+} } e^{sinx ln \frac{1}{x} } = \lim_{ x\to 0^{+} } sinx ln \frac{1}{x} = \lim_{ x\to 0^{+}} \frac{-ln x}{cos x} }}\) Wedlug mojej naciagnej teorii dalej mozna hospitalem jechac. Jednak idac tym (nie wiem czy dobrym tropem) dochodze do \(\displaystyle{ \frac{- \frac{1}{x}*cosx - (-lnx)*(-sinx) }{cos^{2}x }}\)

I tutaj klops
Ps. jakby cos odpowiem ale juz z rana


Ps2. A juz wiem po jakim kroku Ci wyszlo.... e^0 = 1 Jednak chyba nie tego chca w rozwiazaniu...chca raczej szeregow :/

[gufox]

Takie rzeczy liczyc z l'Hospitala:

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0 ^{+} } = (\infty ^{0})= \lim_{ x\to 0 ^{+} }e ^{ln( \frac{1}{x})sinx }=1}\)

bo

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0 ^{+} }sinxln( \frac{1}{x})= \lim_{ x\to 0 ^{+} } \frac{ln( \frac{1}{x}) }{ \frac{1}{sinx} } = H=\lim_{ x\to 0 ^{+} } \frac{x \frac{-1}{x ^{2} } } { \frac{-cosx}{sin ^{2}x } }=\lim_{ x\to 0 ^{+} } \frac{sin ^{2}x }{x} cosx=0}\)