VII Podkarpacki Konkurs Matematyczny

[Ades]

Mam tu zadania z roku 2007 z VII edycji, byłbym wdzięczny jakby ktoś je tu rozwiązał

1. Długości boków trójkąta są trzema kolejnymi liczbami całkowitymi nie mniejszymi od 3. Wykaż, że wysokość tego trójkąta, opuszczona na bok środkowej długości, dzieli go na odcinki, których różnica długości jest równa 4.
2. Czy liczba \(\displaystyle{ b^{2}-4ac}\) może być równa 23, jeśli a,b,c są liczbami całkowitymi? Odp uzasadnij.
3. W kwadracie obrano \(\displaystyle{ 2n^{2}+1}\) punktów tak, że żadne trzy nie należą do jednej prostej. Udowodnij, że wśród wybranych punktów istnieją trzy, które są wierzchołkami trójkąta o polu nie większym niż \(\displaystyle{ \frac{1}{2n^{2}}}\) pola kwadratu.
4. Jest w innym temacie
5.Wykaż, że:
\(\displaystyle{ \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} +...+ \frac{1}{99} - \frac{1}{100}= \frac{1}{51} + \frac{1}{52} +... \frac{1}{100}}\)

[Desmondo]

Mógłby mi ktoś podsunąć jakąś wskazówkę do zadania 3?

[MagdaW]

Podziel kwadrat na \(\displaystyle{ n ^{2}}\) małych kwadracików. Wówczas z ZSD co najmniej 3 z punktów należą do jednego kwadracika- to one tworzą ten szukany trójkąt, którego pole nie przekracza \(\displaystyle{ \frac{1}{2n ^{2} }}\) pola wyjściowego kwadratu.-- 3 lutego 2009, 13:19 --Ad. 2
Nie, uzasadnienie:
\(\displaystyle{ 23\equiv3(mod 4) \wedge 4ac\equiv0(mod 4) \Rightarrow b ^{2}\equiv3(mod 4)}\)

Teraz trzeba zauważyć, że dla całkowitego k
\(\displaystyle{ k ^{2}\equiv0(mod 4) \vee k ^{2}\equiv1(mod 4)}\), więc nie istnieje \(\displaystyle{ b ^{2}\equiv3(mod 4)}\)

[emator2]

Jakiś pomysł na 5? Lewa strona ładnie wychodzi, ale prawa jakoś mi się nie chce rozłożyć.

[limes123]

\(\displaystyle{ L=\sum_{i=1}^{100} \frac{1}{i}-2\sum_{i=1}^{50} \frac{1}{2i}=\sum_{i=51}^{100} \frac{1}{i}}\)

[emator2]

Dzięki