granica

cfk · Post autor: **cfk** » 29 sty 2009, o 22:34

Witam.
Muszę policzyć taką granicę i nie bardzo wiem jak.

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \left(\frac{3x-2}{3x+5}\right)^{1-2x}}\)

z góry dzięki

Post autor: **kuch2r** » 29 sty 2009, o 22:37

albo \(\displaystyle{ n}\) albo \(\displaystyle{ x}\) kwestia scisłości

cfk · Post autor: **cfk** » 29 sty 2009, o 22:41

kuch2r pisze:albo \(\displaystyle{ n}\) albo \(\displaystyle{ x}\) kwestia scisłości

chodziło o \(\displaystyle{ x}\) - sorry już poprawiłem

Tur! · Post autor: **Tur!** » 29 sty 2009, o 23:40

dodaj jedynkę i ją odejmij, tą którą odejmujesz sprowadź pod wspólny mianownik.
będziesz miał postać:
\(\displaystyle{ \left( 1 + \frac{a}{b} \right) ^ {c}}\)

gdzie, \(\displaystyle{ \frac{a}{b} \to 0 \ oraz \ c\to\infty}\), granicą będzie \(\displaystyle{ e^{\frac{a}{b}\cdot c}}\)

Teraz jak się przyjrzałem, to wyciągnij z licznika i mianownika 3x i postaraj się to doprowadzić do postaci jak podałem wcześniej
Pozdrawiam

cfk · Post autor: **cfk** » 29 sty 2009, o 23:51

Tur! pisze:dodaj jedynkę i ją odejmij, tą którą odejmujesz sprowadź pod wspólny mianownik.
będziesz miał postać:
\(\displaystyle{ \left( 1 + \frac{a}{b} \right) ^ {c}}\)

gdzie, \(\displaystyle{ \frac{a}{b} \to 0 \ oraz \ c\to\infty}\), granicą będzie \(\displaystyle{ e^{\frac{a}{b}\cdot c}}\)

Teraz jak się przyjrzałem, to wyciągnij z licznika i mianownika 3x i postaraj się to doprowadzić do postaci jak podałem wcześniej
Pozdrawiam

jakoś tego nie widze... możesz pokazać konkretnie ?

Tur! · Post autor: **Tur!** » 30 sty 2009, o 00:23

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \left( \frac{3x-2}{3x+5} \right)^{1-2x}=
\lim_{x\to\infty} \left( 1+\frac{3x-2}{3x+5} -1 \right)^{1-2x}=
\lim_{x\to\infty} \left( 1+\frac{-7}{3x+5} \right)^{1-2x}=}\)
sprawdzamy czy spełnione są warunki:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \left( \frac{-7}{3x+5} \right) \rightarrow 0 \\
\lim_{x\to\infty} ( 1-2x ) \rightarrow -\infty}\)
Warunki są spełnione, więc granica tego ciągu wynosi:
\(\displaystyle{ = \lim_{x\to\infty}e^{\frac{-7}{3x+5}\cdot (1-2x)} = e^{\frac{2}{3}}}\)

cfk · Post autor: **cfk** » 30 sty 2009, o 09:03

doprowadzić do postaci
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \left( 1+\frac{-7}{3x+5} \right)^{1-2x}=}\)
to umiem.
Tylko rozumiem że dalej korzystasz z jakiegoś twierdzenia, a ja nie bardzo wiem jakiego....jakbyś mógł mi tak łopatologicznie wytlumaczyć byłbym bardzo wdzięczny

Post autor: **Frey** » 30 sty 2009, o 09:40

Tur, a co zrobiłeś z 7? nie powinno wyjść \(\displaystyle{ \frac{14}{3}}\) minus ci się zjadł, a przy tym i siódemka

Tur! · Post autor: **Tur!** » 30 sty 2009, o 10:32

@Frey -> nie mogę napisać mów... więc napiszę... pisz mi Turi.. wiem, wiem wykrzyknik mylący

Wracając do przykładu
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{-7}{3x+5}\cdot (1-2x) =
\lim_{n\to\infty} \frac{14x-7}{3x+5} =
\lim_{n\to\infty} \frac{14-\frac{7}{x}}{3+\frac{5}{x}} = \frac{14}{3}}\)
Czyli granicą jest \(\displaystyle{ e^{\frac{14}{3}}}\)

Ojojojjoj... 2*7 = .... 2... pozostawcie to bez komentarza proszę

@cfk
kiedy mamy sprowadzone do tej postaci, to wiemy, że granicą jest liczba Eulera do pewnej potęgi.
np:
\(\displaystyle{ \left(1+\frac{3}{n^{2}}\right)^{n^{2}}\rightarrow e^{3}}\)
może być, też tak że postać nie będzie taka przyjemna.
Wtedy gdy uzyskujemy taką postać
\(\displaystyle{ (a_{n})=(1+x)^{y}}\)
Musimy sprawdzić x, y czy spełnia warunki by dążyć do e.
Warunki wyglądają następująco:
\(\displaystyle{ I: x \to 0 \\
II: y\to \infty(-\infty)}\)
gdy powyższe warunki są spełnione to granicą ciągu \(\displaystyle{ a_{n}}\) jest:

\(\displaystyle{ (a_{n})\to e^{x\cdot y}}\)

Jeżeli piszę nie jasno, to niech ktoś inny Ci to wyjaśni, albo po prostu zajrzyj do wykładów.

Pozdrawiam

cfk · Post autor: **cfk** » 30 sty 2009, o 12:51

@Tur!

bardzo jasno =)
a to twiedzenie/prawo sie jakoś nazywa?

Tur! · Post autor: **Tur!** » 30 sty 2009, o 19:47

Z tego co mi się wydaje, żadnego twierdzenia przy tym chyba nie było, jest to po prostu liczba Eulera, który był na tyle sprytny, że dostrzegł dokąd zbiegają granice takich wyrażeń.
Inaczej nazywa się to postawą logarytmu naturalnego.

na wikipedii jest trochę informacji:

Pozdrawiam

Post autor: **Frey** » 30 sty 2009, o 23:42

Turi, sorry , ale że !=i to się nie domyśliłem i chyba nikt się nie domyśla

Ale racje miałem

Tur! · Post autor: **Tur!** » 31 sty 2009, o 12:45

spokojnie, z tym wykrzyknikiem to na każdym forum bywa mylne
Idzie się do tego przyzwyczaić ^^

Racje miałeś ja już tak mam. To zjem gdzieś minusa, to zapomnę coś wymnożyć... błędy mam we krwi