Witam. W ręce wpadła mi książka "Zagadkowy przewodnik po twierdzeniach Godla", w której umieszczony jest następujący dowód na istnienie zdania, stwierdzającego swoją własną niedowodliwość w danym systemie matematycznym:
"Przypuśćmy, że dzielimy wszystkie prawdziwe zdania systemu na dwie grupy: grupa I składa się ze wszystkich zdań systemu, które, choć prawdziwe nie są dowodliwe w tym systemie; natomiast grupa II składa się ze wszystkich zdań systemu, które nie tylko są prawdziwe, lecz także dowodliwe w tym systemie. Istota pomysłu Godla sprowadza się do skonstruowania zdania, które stwierdzało, iż należy samo do grupy I - zdanie to można wysłowić następująco: "Nie jestem zdaniem dowodliwym w systemie". Jeśli to zdanie byłoby fałszywe, to nie zachodziłoby to, o czym ono mówi, co z kolei oznaczałoby, że jest ono dowodliwe w systemie, a to jest niemożliwe (ponieważ wszystkie zdania dowodliwe w systemie, są prawdziwe). Stąd zdanie to musi być prawdziwe oraz - tak jak samo stwierdza - niedowodliwe w systemie. Tak więc zdanie Godla jest prawdziwe, lecz nie jest dowodliwe w systemie."
I tu mój problem - pokazaliśmy, że zdanie Godla jest prawdziwe, a więc czy nie udowodniliśmy jego prawdziwości? Możemy przecież przeprowadzić analogiczny dowód mający udowodnić prawdziwość tego zdania: załóżmy nie wprost, że zdanie Godla jest fałszywe. Czyli jest dowodliwe. Czyli jest prawdziwe. Czyli sprzeczność. A więc >musi< być prawdziwe". Jeśli teraz >musi< oznacza, że >jest< prawdziwe, to pokaliśmy, że jednak jest dowodliwe, czyli jest fałszywe, i znowu sprzeczność. Paradoks? Nasuwa mi się tu pytanie: czy ten "twór" który nazywamy zdaniem Godla to w ogóle jest więc zdanie? Czy zdanie może odnosić się samo do siebie?
Już nie wiem co o tym sądzić, dlatego będę wdzięczny za jakiekolwiek wytłumaczenie powyższej sytuacji.
Pozdrawiam i z góry dziękuje.
P.S Wynikanie prawdziwości z dowodliwości autor uzasadnia "własnością systemów znaną pod nazwą trafności".