Funkcja kwadratowa i szereg Fouriera

[antekhh]

Witam, mam takie zadanko

Rozwinąc funkcje w szereg Fouriera \(\displaystyle{ f(x)=x^2}\) w \(\displaystyle{ (0,2\pi)}\) i obliczyc sume szeregu \(\displaystyle{ \sum\frac{1}{n^2}}\)

Rozwiniecie funkcji w \(\displaystyle{ (0,2\pi)}\) to :

\(\displaystyle{ x^2=\frac{4\pi^2}{3}+4\sum(\frac{cos(nx)}{n^2}-\frac{\pi\sin(nx)}{n})}\)

i teraz nie wiem jak obliczyc ta sume, bo jezeli podstawie za \(\displaystyle{ x=\pi}\), to wyjdzie ze

\(\displaystyle{ \sum\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{3}}\) a powinno wyjsc \(\displaystyle{ \sum\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}}\)

to rozwiniecie jest na pewno dobrze bo jest z ksiazki, podejrzewam ze jakas role odgrywaja tu warunki Dirichleta ktore w tym przedziale nie sa spelnione.

Gdyby ktos wiedzial jak dojsc do prawidlowej sumy to prosze o pomoc.

[leoha]

[...]
Rozwiniecie funkcji w \(\displaystyle{ (0,2\pi)}\) to :

\(\displaystyle{ x^2=\frac{4\pi^2}{3}+4\sum(\frac{cos(nx)}{n^2}-\frac{\pi\sin(nx)}{n})}\)
[...]

wg mnie:
\(\displaystyle{ x^2=\frac{2\pi^2}{3}+\sum ...}\)
zauwaz ze w twoim rozwinieciu podp ostawieniu za x=pi twoj szereg musialby byc ujemny
ten wyraz przed suma jest wartoscia srednia funkcji na tym przedziale wiec policz i sprawdz bo mnie wlasnie wyszlo tyle ile wyszlo ... moze ja sie myle ... ale sprawdz ... wspolczynnikow przy sin i cos nie mam czasu sprawdzic ale upewnij sie ze rozwinieta funkcja jest na pewno w dokladnie tym przedzialem bo byc moze ja jakos przedluzyli z lewej czy cos... (jesli mowie glupoty to usuncia ten post)