boki trójkata ciąg arytmetyczny maturalne

[kornelka90]

Długośc boków pewnego trójkąta tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy4. Jaką długość może przyjmować najkrótszy bok tego trójkata, aby trójkąt był rozwartokątny?

[Sherlock]

Boki: \(\displaystyle{ a, a+4, a+8}\)
Wprowadźmy warunki wynikające z nierówności trójkąta:
\(\displaystyle{ a+a+4>a+8}\) \(\displaystyle{ a>4}\)
\(\displaystyle{ a+a+8>a+4}\) \(\displaystyle{ a>-4}\)
\(\displaystyle{ a+4+a+8>a}\) \(\displaystyle{ a>-12}\)
czyli \(\displaystyle{ a>4}\) żeby w ogóle można było mówić o trójkącie

Największy kąt jest naprzeciwko najdłuższego boku, zatem z tw. cosinusów:
\(\displaystyle{ (a+8)^2=a^2+(a+4)^2-2 \cdot a \cdot (a+4) \cdot cos\alpha}\) gdzie \(\displaystyle{ \alpha}\) to nasz rozwarty kąt, cosinus musi przyjmować wartości \(\displaystyle{ (0,-1)}\) ponieważ \(\displaystyle{ \alpha \in (90^0,180^0)}\)

po wyliczeniach wyszło mi, że:
\(\displaystyle{ cos\alpha= \frac{a-12}{2a}}\)
\(\displaystyle{ a \neq 0}\)

mianownik zawsze będzie dodatni bo \(\displaystyle{ a>4}\) (poza tym \(\displaystyle{ a}\) to długość boku trójkąta)

\(\displaystyle{ 0>cos\alpha>-1}\)
\(\displaystyle{ 0> \frac{a-12}{2a}>-1}\)

\(\displaystyle{ 0> \frac{a-12}{2a}}\)
\(\displaystyle{ 2a(a-12)<0}\)
\(\displaystyle{ 0<a<12}\)

\(\displaystyle{ \frac{a-12}{2a}>-1}\)
\(\displaystyle{ \frac{a-12+2a}{2a}>0}\)
\(\displaystyle{ \frac{3a-12}{2a}>0}\)
\(\displaystyle{ 2a(3a-12)>0}\)
biorąc pod uwagę założenie a>4 pozostaje
\(\displaystyle{ a>4}\)

zatem \(\displaystyle{ a \in (4,12)}\)