Wyznaczyć funkcję odwrotną (o ile istnieje) do funkcji \(\displaystyle{ f:[0,+infty)
i xmapstofrac{-3}{6+ x^4}in[-frac{1}{2},0)}\)
blagam o rozwiązanie
wyznaczyć funkcję odwrotną
-
msx100
- Użytkownik
- Posty: 261
- Rejestracja: 29 sie 2007, o 11:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: RP
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 51 razy
wyznaczyć funkcję odwrotną
\(\displaystyle{ f(x) = y}\)
\(\displaystyle{ y = \frac{-3}{6+x^4} \Leftrightarrow \frac{1}{y} = \frac{6+x^4}{-3} \Leftrightarrow \frac{-3}{y} = 6+x^4 \Leftrightarrow x^4 = \frac{-3}{y} - 6 \Leftrightarrow x^4 = \frac{-3-6y}{y} \Leftrightarrow x = \sqrt[4]{\frac{-3-6y}{y}}}\)
musimy tylko dziedzine sprawdzic funkcji x(y), czyli:
\(\displaystyle{ y \neq 0 \wedge \frac{-3-6y}{y} \ge 0}\)
\(\displaystyle{ y(1+2y) \le 0 \Rightarrow y \in [-\frac{1}{2} ; 0 ]}\)
dorzucamy warunek \(\displaystyle{ y \neq 0}\) i mamy : \(\displaystyle{ y in [-frac{1}{2} ; 0 )}\)
zatem \(\displaystyle{ f^{-1}(x) = sqrt[4]{frac{-3-6x}{x}} x in [-frac{1}{2} ; 0 )}\)
\(\displaystyle{ y = \frac{-3}{6+x^4} \Leftrightarrow \frac{1}{y} = \frac{6+x^4}{-3} \Leftrightarrow \frac{-3}{y} = 6+x^4 \Leftrightarrow x^4 = \frac{-3}{y} - 6 \Leftrightarrow x^4 = \frac{-3-6y}{y} \Leftrightarrow x = \sqrt[4]{\frac{-3-6y}{y}}}\)
musimy tylko dziedzine sprawdzic funkcji x(y), czyli:
\(\displaystyle{ y \neq 0 \wedge \frac{-3-6y}{y} \ge 0}\)
\(\displaystyle{ y(1+2y) \le 0 \Rightarrow y \in [-\frac{1}{2} ; 0 ]}\)
dorzucamy warunek \(\displaystyle{ y \neq 0}\) i mamy : \(\displaystyle{ y in [-frac{1}{2} ; 0 )}\)
zatem \(\displaystyle{ f^{-1}(x) = sqrt[4]{frac{-3-6x}{x}} x in [-frac{1}{2} ; 0 )}\)