badanie zbieżności (kryt. całkowe i porównawcze)

[iskan]

Witam!

Walczę właśnie z przykładem na zbadanie zbieżności szeregu:

\(\displaystyle{ \sum_{ \infty }^{n=2} \frac{1}{nln (n^{2}) }}\)

Są ponoć 2 sposoby na rozwiązanie tego zadania: kryterium porównawcze i całkowe.

Kryterium porównawczego nie umiem stosować, a z całkowego (też chyba nie ) wyszło mi

\(\displaystyle{ [ \frac{1}{2}ln|lnn|] \infty}\)a na dole \(\displaystyle{ 2}\) co daje w sumie \(\displaystyle{ \infty}\) i rozbieżność szeregu

Czy dobrze rozgryzłem ten sposób? I czy mógłby ktoś pokazać jak zrobić to korzystając z kryterium porównawczego?

[Frey]

kryterium kondensacyjne (zagęszczeniowe) i pójdzie szybko

[iskan]

Wszystko fajnie, tylko nigdy tego nie miałem, a na forum za dużo o tym nie piszą.

Czy to ma wyglądać tak?

\(\displaystyle{ \sum_{ \infty }^{n=2} \frac{2 ^{k} }{2 ^{k}(kln2) ^{2} } = ... \frac{1}{k ^{2}2ln2 } = \frac{1}{2ln2} \sum_{ \infty }^{n=2} \frac{1}{k ^{2} }}\) (znaki przy sumie na odwrót )

I dalej z d'Alemberta?

[Frey]

no prawie

\(\displaystyle{ \sum_{ \infty }^{n=2} \frac{1}{nln (n^{2}) } = \frac{1}{nln (n*n) } = k.kond.= \frac{2^n}{2^n *ln (2^n * 2^n) } = \frac{1}{ln (2^{2n}) }= \frac{1}{2n *ln(2) } =czary= \frac{1}{2ln(2)}* \sum_{ \infty }^{n=2} \frac{1}{n}}\)

te "czary" mają pokazać, że pojawia się znaczek szeregu, który wcześniej pomijałem. Jesli nie pomyliłem się w obliczeniach. To wyszedł szereg harmoniczny przemnożony przez pewną stalą. A wiemy że szereg harmoniczny jest rozbieżny. Zatem jest rozbieżny.

[iskan]

Już o wiele bardziej mnie oświeciłeś Wielkie dzięki Frey